Parâmetros T: O que são? (Exemplos Problemas e Como Converter Parâmetros T para outros Parâmetros)

Campo: Eletricidade Básica

China

o que são parâmetros T

O que são Parâmetros T?

Parâmetros T são definidos como parâmetros de linha de transmissão ou parâmetros ABCD. Em uma rede de duas portas, a porta 1 é considerada a extremidade de envio e a porta 2 é considerada a extremidade de recebimento. No diagrama da rede abaixo, os terminais da porta 1 representam a porta de entrada (envio). Da mesma forma, os terminais da porta 2 representam a porta de saída (recepção).

parâmetro t de rede de duas portas

Parâmetro T em uma Rede de Duas Portas

Para a rede de duas portas acima, as equações dos parâmetros T são;

(1) $\begin{equation*} V_S=AV_R + BI_R \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*} I_S=CV_R + DI_R \end{equation*}$

Onde;

VS = Tensão no extremo de envio tensão
IS = Corrente no extremo de envio corrente
VR = Tensão no extremo de recepção
IR = Corrente no extremo de recepção

Esses parâmetros são usados para fazer a modelagem matemática de uma linha de transmissão. Os parâmetros A e D são adimensionais. A unidade dos parâmetros B e C é ohm e mho, respectivamente.

$\begin{bmatrix} V_S \\ I_S \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_R \\ I_R \end{bmatrix}$

Para encontrar o valor dos parâmetros T, precisamos abrir e curto-circuitar o extremo de recepção. Quando o extremo de recepção está em circuito aberto, a corrente no extremo de recepção IR é zero. Colocando esse valor nas equações, obtemos os valores dos parâmetros A e C.

$I_R=0$

Condição de circuito aberto

A partir da equação-1;

$V_S=AV_R + B(0)$

$V_S=AV_R$

$A = \left \frac{V_S}{V_R} \right|_ {I_R=0}$

A partir da equação-2;

$I_S = CV_R + D(0)$

$I_S = CV_R$

$C = \left \frac{I_S}{V_R} \right|_ {I_R=0}$

Quando o extremo receptor está em curto-circuito, a tensão entre os terminais receptores VR é zero. Ao inserir esse valor na equação, podemos obter os valores dos parâmetros B e D.

$V_R = 0$

condição de curto-circuito

A partir da equação-1;

$V_S=A(0) + BI_R$

$V_S = BI_R$

$B = \left \frac{V_S}{I_R} \right|_ {V_R=0}$

A partir da equação-2;

$I_S=C (0) + DI_R$

$I_S = DI_R$

$D = \left \frac{I_S}{I_R} \right|_ {V_R=0}$

Parâmetros T Resolvidos Exemplo de Problema

Considere que uma impedância está conectada entre os terminais de saída e recepção, conforme mostrado na figura abaixo. Encontre os parâmetros T da rede dada.

t parameter example

Exemplo de Parâmetro T

Aqui, a corrente de saída é a mesma que a corrente de recepção.

$I_S = I_R$

(3) $\begin{equation*} I_S = (0)V_R + (1) I_R \end{equation*}$

Agora, aplicamos KVL à rede,

$V_S = V_R + I_S Z_1$

$V_S = V_R + I_R Z_1$

(4) $\begin{equation*} V_S = (1)V_R + (Z_1) I_R \end{equation*}$

Compare a equação-1 e 4;

$A = 1, \, B = Z_1$

Compare as equações-2 e 3;

$C = 0, \, D = 1$

Parâmetros T de uma Linha de Transmissão

De acordo com o comprimento da linha, as linhas de transmissão são classificadas como;

Linha de transmissão curta
Linha de transmissão média
Linha de transmissão longa

Agora, encontramos os parâmetros T para todos os tipos de linhas de transmissão.

Linha de Transmissão Curta

A linha de transmissão com comprimento inferior a 80km e nível de tensão inferior a 20kV é considerada uma linha de transmissão curta. Devido ao pequeno comprimento e nível de tensão mais baixo, a capacitância da linha é negligenciada.

Portanto, estamos considerando apenas resistência e indutância ao modelar uma linha de transmissão curta. A representação gráfica da linha de transmissão curta é mostrada na figura abaixo.

t parameter of short transmission line

Parâmetros T de Linha de Transmissão Curta

Onde,
IR = Corrente no extremo receptor
VR = Tensão no extremo receptor
Z = Impedância da carga
IS = Corrente no extremo de envio
VS = Tensão no extremo de envio
R = Resistência da linha
L = Indutância da linha

Quando a corrente flui pela linha de transmissão, ocorre uma queda de IR na resistência da linha e uma queda de IXL na reatância indutiva.

Na rede acima, a corrente no extremo de envio é a mesma que a corrente no extremo receptor.

$I_S = I_R$

$V_S = V_R + I_R Z$

Agora, compare essas equações com as equações dos parâmetros T (equação 1 e 2). E obtemos os valores dos parâmetros A, B, C e D para uma linha de transmissão curta.

$A = 1, B = Z, C = 0, D = 1$

Linha de Transmissão Média

A linha de transmissão com um comprimento de 80km a 240km e nível de tensão de 20kV a 100kV é considerada como uma linha de transmissão média.

No caso de uma linha de transmissão média, não podemos negligenciar a capacitância. Devemos considerar a capacitância ao modelar uma linha de transmissão média.

De acordo com o posicionamento da capacitância, as linhas de transmissão médias são classificadas em três métodos:

Método do Condensador Final
Método T Nominal
Método π Nominal

Método do Condensador Final

Neste método, a capacitância da linha é considerada concentrada no final da linha de transmissão. A representação gráfica do Método do Condensador Final é mostrada na figura abaixo.

t parameter of end condenser method

Parâmetro T do Método do Condensador Final

Onde;
IC = Corrente do capacitor = YVR

A partir da figura acima,

$I_S = I_C + I_R$

(5) $\begin{equation*} I_S = Y V_R + I_R \end{equation*}$

Pela KVL, podemos escrever;

$V_S = V_R + Z I_S$

$V_S = V_R + Z (I_C + I_R)$

$V_S = V_R + Z (Y V_R + I_R)$

$V_S = V_R + Z Y V_R + Z I_R$

(6) $\begin{equation*} V_S = V_R (1 + ZY) + Z I_R \end{equation*}$

Agora, compare as equações-5 e 6 com as equações dos parâmetros T;

$A = 1 + ZY, \; B = Z , \; C = Y , \; D = 1$

Método T Nominal

Neste método, a capacitância da linha é colocada no ponto médio da linha de transmissão. A representação gráfica do Método T Nominal é mostrada na figura abaixo.

t parameter of nominal t method

Parâmetro T do Método T Nominal

Onde,
IC = Corrente do capacitor = YVC
VC = Tensão do capacitor

$V_S = V_C + I_S \frac{Z}{2}$

$V_C = V_R + I_R \frac{Z}{2}$

A partir da LCK;

$I_S = I_R + I_C$

$I_S = I_R + Y V_C$

$I_S = I_R + Y (V_R + I_R \frac{Z}{2})$

$I_S = I_R + Y V_R + Y I_R \frac{Z}{2})$

(7) $\begin{equation*} I_S = Y V_R + I_R (1 + \frac{YZ}{2}) \end{equation*}$

Agora,

$V_S = V_R + I_R \frac{Z}{2} + I_S \frac{Z}{2}$

$V_S = V_R + I_R \frac{Z}{2} + \frac{Z}{2} \left[ YV_R + I_R (1 + \frac{YZ}{2}) \right]$

$V_S = V_R + I_R \frac{Z}{2} + \frac{Z}{2} YV_R + \frac{Z}{2} I_R (1 + \frac{YZ}{2})$

(8) $\begin{equation*} V_S = V_R \left( 1 + \frac{YZ}{2} \right) + I_R \left( Z + \frac{YZ^2}{4} \right) \end{equation*}$

Agora, compare as equações 7 e 8 com as equações dos parâmetros T e obtemos,

$A = 1 + \frac{YZ}{2}$

$B = Z(1+\frac{YZ}{4})$

$C = Y$

$D = 1 + \frac{YZ}{2}$

Método Nominal π

Neste método, a capacitância da linha de transmissão é dividida em duas metades. Uma metade é colocada no extremo de envio e a segunda metade é colocada no extremo de recepção. A representação gráfica do método nominal π é mostrada na figura abaixo.

t parameter of nominal pi method

Parâmetro T do Método Nominal π

$I_S = I_1 + I_{C2}$

$I_1 = I_R + I_{C1}$

$I_{C1} = \frac{Y}{2} V_R \; and \; I_{C2} = \frac{Y}{2} V_S$

A partir da figura acima, podemos escrever;

$V_S = V_R + I_1 Z$

$V_S = V_R + (I_R + I_{C1}) Z$

$V_S = V_R + Z (I_R + \frac{Y}{2} V_R)$

$V_S = V_R + Z I_R + Z \frac{Y}{2} V_R$

(9) $\begin{equation*} V_S = V_R \left(1 + \frac{YZ}{2} \right) + Z I_R \end{equation*}$

Agora,

$I_S = I_1 + I_{C2}$

$I_S = (I_R + I_{C1}) + I_{C2}$

$I_S = I_R + \frac{Y}{2} V_R + \frac{Y}{2} V_S$

Substitua o valor de VS nesta equação,

$I_S = I_R + \frac{Y}{2} V_R + \frac{Y}{2} \left[ V_R \left(1 + \frac{YZ}{2} \right) + Z I_R \right]$

$I_S = I_R + \frac{Y}{2} V_R + \frac{Y}{2} (1 + \frac{YZ}{2}) V_R + \frac{Y}{2} I_R Z$

(10) $\begin{equation*} I_S = I_R \left[ 1 + \frac{YZ}{2} \right] + Y V_R \left[ 1 + \frac{YZ}{4} \right] \end{equation*}$

Ao comparar as equações-9 e 10 com as equações dos parâmetros T, obtemos;

$A = 1 + \frac{YZ}{2}$

$B = Z$

$C = Y \left( 1 + \frac{YZ}{4} \right)$

$D = 1 + \frac{YZ}{2}$

Linha de Transmissão Longa

A linha de transmissão longa é modelada como uma rede distribuída. Não pode ser assumida como uma rede concentrada. O modelo distribuído de uma linha de transmissão longa é mostrado na figura abaixo.

parâmetro T de linha de transmissão longa

Parâmetro T de Linha de Transmissão Longa

O comprimento da linha é X km. Para analisar a linha de transmissão, consideramos uma pequena parte (dx) da linha. E está mostrada na figura abaixo.

parâmetro T de linha de transmissão longa

Zdx = impedância em série
Ydx = impedância em derivação

A tensão aumenta ao longo do comprimento. Portanto, o aumento de tensão é;

$dV = IZdx$

$\frac{dV}{dx} = IZ$

De maneira semelhante, a corrente consumida pelo elemento é;

$dI = VYdx$

$\frac{dI}{dx} = VY$

Diferenciando as equações acima;

$\frac{d^2V}{dx^2} = Z \frac{dI}{dx} = ZVY$

A solução geral da equação acima é;

$V = K_1 cosh(x\sqrt{YZ}) + K_2 sinh(x \sqrt{YZ})$

Agora, diferencie esta equação em relação a X,

$\frac{dv}{dx} = K_1 \sqrt{YZ} sinh(x\sqrt{YZ}) + K_2 \sqrt{YZ} cosh(x\sqrt{YZ})$

$IZ = K_1 \sqrt{YZ} sinh(x\sqrt{YZ}) + K_2 \sqrt{YZ} cosh(x\sqrt{YZ})$

$I = \sqrt{\frac{Y}{Z}} \left[ K_1 sinh(x\sqrt{YZ}) + K_2 cosh(x\sqrt{YZ})$

Agora, precisamos encontrar as constantes K1 e K2;

Para isso, assuma;

$x=0, \; V=V_R, \; I=I_R$

Colocando esses valores nas equações acima;

$V_R = K_1 cosh 0 + K_2 sinh 0$

$V_R = K_1 + 0$

$K_1 = V_R$

$I_R = \sqrt{\frac{Y}{Z}} \left[ K_1 sinh 0 + K_2 cosh 0 \right]$

$I_R = \sqrt{\frac{Y}{Z}} [0+K_2]$

$K_2 = \sqrt{\frac{Z}{Y}}$

Portanto,

$V_S = V_R cosh (x\sqrt{YZ}) + \sqrt{\frac{Z}{Y}} I_R sinh (x\sqrt{YZ})$

$I_S = \sqrt{\frac{Y}{Z}} V_R sinh (x\sqrt{YZ}) + I_R cosh (x\sqrt{YZ})$

$Z_C = \sqrt{\frac{Z}{Y}} \, and \, \gamma = \sqrt{YZ}$

Onde,

ZC = Impedância característica
ɣ = Constante de propagação

$V_S = V_R cosh \gamma x + I_R Z_C sinh \gamma x$

$I_S = \frac{V_R}{Z_C} sinh \gamma x + I_R cosh \gamma x$

Compare estas equações com as equações dos parâmetros T;

$A=cosh \gamma x$

$B=Z_C sinh \gamma x$

$C=\frac{sinh \gamma x}{Z_C}$

$D=\cos \gamma x$

Conversão de parâmetros T para outros parâmetros

Podemos encontrar outros parâmetros a partir das equações dos parâmetros T. Para isso, precisamos encontrar um conjunto de equações de outros parâmetros em termos dos parâmetros T.

Considere a rede de duas portas generalizada mostrada na figura abaixo.

conversão de parâmetros t para outros parâmetros

Nesta figura, a direção da corrente no lado receptor é alterada. Portanto, consideramos algumas mudanças nas equações dos parâmetros T.

$V_S = V_1, \; V_R = V_2, \; I_S = I_1, \; I_R = -I_2,$

As equações dos parâmetros T são:

(11) $\begin{equation*} V_1 = AV_2 - BI_2 \end{equation*}$

(12) $\begin{equation*} I_1 = CV_2 - DI_2 \end{equation*}$

Parâmetro T para parâmetros Z

O seguinte conjunto de equações representa os parâmetros Z.

(13) $\begin{equation*} V_1 = Z_{11}I_1 + Z_{12}I_2 \end{equation*}$

(14) $\begin{equation*} V_2 = Z_{21}I_1 + Z_{22}I_2 \end{equation*}$

Agora, vamos encontrar as equações dos parâmetros Z em termos dos parâmetros T.

$CV_2 = I_1 + DI_2$

(15) $\begin{equation*} V_2 = \frac{1}{C}I_1 + \frac{D}{C} I_2 \end{equation*}$

Agora, compare a equação-14 com a equação-15

$Z_{21} = \frac{1}{C}, \quad Z_{22} = \frac{D}{C}$

Agora,

$V_1 = A \left[ \frac{1}{C} I_1 + \frac{D}{C}I_2 \right] - BI_2$

$V_1 = \frac{A}{C} I_1 + \frac{AD}{C}I_2 - BI_2$

(16) $\begin{equation*} V_1 = \frac{A}{C}I_1 + \left( \frac{AD-BC}{C} \right) I_2 \end{equation*}$

Compare a equação-13 com a equação-16;

$Z_{11} = \frac{A}{C}, \quad Z_{12} = \frac{AD-BC}{C}$

Parâmetro T para parâmetros Y

O conjunto de equações dos parâmetros Y é;

(17) $\begin{equation*} I_1 = Y_{11}V_1 + Y_{12}V_2 \end{equation*}$

(18) $\begin{equation*} I_2 = Y_{21}V_1 + Y_{22}V_2 \end{equation*}$

A partir da equação-12;

$DI_2 = CV_2 - I_1$

$I_2 = \frac{C}{D}V_2 - \frac{1}{D}I_1$

Coloque este valor na equação-11;

$V_1 = AV_2 - B \left[ \frac{C}{D}V_2 - \frac{1}{D}I_1 \right]$

$V_1 = AV_2 -\frac{BC}{D}V_2 + \frac{B}{D}I_1$

$V_1 = V_2 \left[ \frac{AD-BC}{D} \right] +\frac{B}{D}I_1$

$\frac{B}{D}I_1 = V_1 - V_2 \left[ \frac{AD-BC}{D} \right]$

(19) $\begin{equation*} I_1 = \frac{D}{B}V_1 - \frac{BC-AD}{B}V_2 \end{equation*}$

Compare esta equação com a equação-17;

$Y_{11} = \frac{D}{B}, \quad Y_{12} = \frac{BC-AD}{B}$

A partir da equação-11;

$BI_2 = AV_2 - V_1$

(20) $\begin{equation*} I_2 = \frac{A}{B} V_2 - \frac{1}{B}V_1 \end{equation*}$

Compare esta equação com a equação-18;

$Y_{21} = \frac{-1}{B}, \quad Y_{22} = \frac{A}{B}$

Parâmetro T para parâmetros H

O conjunto de equações dos parâmetros H é;

(21) $\begin{equation*} V_1 = H_{11}I_1 + H_{12}V_2 \end{equation*}$

(22) $\begin{equation*} I_2 = H_{21}I_1 + H_{22}V_2 \end{equation*}$

Da equação-12;

$DI_2 = CV_2 - I_1$

(23) $\begin{equation*} I_2 = \frac{C}{D} V_2 - \frac{1}{D}I_1 \end{equation*}$

Compare esta equação com a equação-22;

$H_{21} = \frac{-1}{D}, \quad H_{22} = \frac{C}{D}$

$V_1 = AV_2 - B \left[ \frac{C}{D} V_2 - \frac{1}{D}I_1 \right]$

$V_1 = AV_2 - \frac{BC}{D}V_2 + \frac{B}{D}I_1$

(24) $\begin{equation*} V_1 = V_2 \left[ \frac{AD-BC}{D} \right] + \frac{B}{D}I_1 \end{equation*}$

$H_{11} = \frac{B}{D}, \quad H_{12} = \frac{AD-BC}{D}$

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