T パラメータとは何か (例題問題および T パラメータを他のパラメータに変換する方法)

フィールド: 基本電気

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t パラメータとは

T パラメータとは

T パラメータは伝送線路パラメータまたは ABCD パラメータとも呼ばれます。二端子ネットワークでは、ポート1が送信端、ポート2が受信端とみなされます。以下のネットワーク図では、ポート1の端子が入力（送信）ポートを表し、同様にポート2の端子が出力（受信）ポートを表します。

二端子ネットワークの t パラメータ

二端子ネットワークにおける T パラメータ

上記の二端子ネットワークについて、T パラメータの方程式は以下の通りです。

(1) $\begin{equation*} V_S=AV_R + BI_R \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*} I_S=CV_R + DI_R \end{equation*}$

ここで；

VS = 送電端の電圧
IS = 送電端の電流
VR = 受電端の電圧
IR = 受電端の電流

これらのパラメータは送電線の数理モデル化に使用されます。パラメータAとDは無次元です。パラメータBとCの単位はそれぞれオームとモーです。

$\begin{bmatrix} V_S \\ I_S \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_R \\ I_R \end{bmatrix}$

T-パラメータの値を求めるには、受電端を開回路および短絡する必要があります。受電端が開回路の場合、受電端の電流IRはゼロになります。この値を方程式に代入すると、パラメータAとCの値が得られます。

$I_R=0$

open circuit condition

式1から；

$V_S=AV_R + B(0)$

$V_S=AV_R$

$A = \left \frac{V_S}{V_R} \right|_ {I_R=0}$

式-2から；

$I_S = CV_R + D(0)$

$I_S = CV_R$

$C = \left \frac{I_S}{V_R} \right|_ {I_R=0}$

受電端がショートサーキットされた場合、受電端子間の電圧VRはゼロになります。この値を方程式に代入することで、BとDパラメータの値を求めることができます。

$V_R = 0$

ショートサーキット条件

方程式1から；

$V_S=A(0) + BI_R$

$V_S = BI_R$

$B = \left \frac{V_S}{I_R} \right|_ {V_R=0}$

式2から；

$I_S=C (0) + DI_R$

$I_S = DI_R$

$D = \left \frac{I_S}{I_R} \right|_ {V_R=0}$

T パラメータの解かれた例題

送電端と受電端の間につながれたインピーダンスを以下の図に示します。与えられたネットワークのTパラメータを求めます。

t parameter example

Tパラメータの例

ここで、送電端の電流は受電端の電流と同じです。

$I_S = I_R$

(3) $\begin{equation*} I_S = (0)V_R + (1) I_R \end{equation*}$

次に、ネットワークに対してKVL（キルヒホッフの電圧法則）を適用します。

$V_S = V_R + I_S Z_1$

$V_S = V_R + I_R Z_1$

(4) $\begin{equation*} V_S = (1)V_R + (Z_1) I_R \end{equation*}$

式1と式4を比較する。

$A = 1, \, B = Z_1$

式2と式3を比較します。

$C = 0, \, D = 1$

送電線のTパラメータ

送電線はその長さによって以下の通り分類されます。

短距離送電線
中距離送電線
長距離送電線

次に、すべてのタイプの送電線に対するTパラメータを見つけてみます。

短距離送電線

長さが80km未満で、電圧レベルが20kV未満の送電線は短距離送電線とみなされます。短い長さと低い電圧レベルのために、線路の容量は無視されます。

したがって、短距離送電線をモデル化する際には、抵抗とインダクタンスのみを考慮します。短距離送電線のグラフィカル表現は以下の図に示されています。

t parameter of short transmission line

短距離送電線のTパラメータ

ここで、
IR = 受電端の電流
VR = 受電端の電圧
Z = 負荷インピーダンス
IS = 送電端の電流
VS = 送電端の電圧
R = 線路抵抗
L = 線路インダクタンス

送電線を通る電流により、線路抵抗でのIRドロップと、インダクティブリアクタンスでのIXLドロップが発生します。

上記のネットワークから、送電端の電流は受電端の電流と同じです。

$I_S = I_R$

$V_S = V_R + I_R Z$

これらの式をTパラメータの式（式1および式2）と比較し、短距離送電線のA、B、C、Dパラメータの値を求めることができます。

$A = 1, B = Z, C = 0, D = 1$

中距離送電線

長さが80kmから240kmで、電圧レベルが20kVから100kVの送電線は中距離送電線とみなされます。

中距離送電線の場合、容量を無視することはできません。中距離送電線のモデリングには容量を考慮する必要があります。

容量の配置に応じて、中距離送電線は以下の3つの方法に分類されます。

端部コンデンサー法
ノミナルT法
ノミナルπ法

エンドコンデンサ法

この方法では、送電線の端に容量が集中していると仮定します。エンドコンデンサ法のグラフィカル表現は以下の図に示されています。

t parameter of end condenser method

エンドコンデンサ法のTパラメータ

ここで；
IC = コンデンサ電流 = YVR

上記の図から、

$I_S = I_C + I_R$

(5) $\begin{equation*} I_S = Y V_R + I_R \end{equation*}$

キルヒホッフの電圧則により、以下の式が成り立ちます。

$V_S = V_R + Z I_S$

$V_S = V_R + Z (I_C + I_R)$

$V_S = V_R + Z (Y V_R + I_R)$

$V_S = V_R + Z Y V_R + Z I_R$

(6) $\begin{equation*} V_S = V_R (1 + ZY) + Z I_R \end{equation*}$

次に、式-5と式-6をTパラメータの式と比較します。

$A = 1 + ZY, \; B = Z , \; C = Y , \; D = 1$

名目T法

この方法では、線路の容量が送電線の中点に配置されます。名目T法のグラフィカル表現は以下の図に示されています。

t parameter of nominal t method

名目T法のTパラメータ

ここで、
IC = コンデンサ電流 = YVC
VC = コンデンサ電圧

$V_S = V_C + I_S \frac{Z}{2}$

$V_C = V_R + I_R \frac{Z}{2}$

KCLから；

$I_S = I_R + I_C$

$I_S = I_R + Y V_C$

$I_S = I_R + Y (V_R + I_R \frac{Z}{2})$

$I_S = I_R + Y V_R + Y I_R \frac{Z}{2})$

(7) $\begin{equation*} I_S = Y V_R + I_R (1 + \frac{YZ}{2}) \end{equation*}$

次に、

$V_S = V_R + I_R \frac{Z}{2} + I_S \frac{Z}{2}$

$V_S = V_R + I_R \frac{Z}{2} + \frac{Z}{2} \left[ YV_R + I_R (1 + \frac{YZ}{2}) \right]$

$V_S = V_R + I_R \frac{Z}{2} + \frac{Z}{2} YV_R + \frac{Z}{2} I_R (1 + \frac{YZ}{2})$

(8) $\begin{equation*} V_S = V_R \left( 1 + \frac{YZ}{2} \right) + I_R \left( Z + \frac{YZ^2}{4} \right) \end{equation*}$

次に、式-7と式-8をTパラメータの式と比較すると、以下のようになります。

$A = 1 + \frac{YZ}{2}$

$B = Z(1+\frac{YZ}{4})$

$C = Y$

$D = 1 + \frac{YZ}{2}$

名目π法

この方法では、送電線の容量が半分に分けられます。一方は送信側に配置され、もう一方は受信側に配置されます。名目π法のグラフィカル表現は以下の図に示されています。

t parameter of nominal pi method

名目π法のTパラメータ

$I_S = I_1 + I_{C2}$

$I_1 = I_R + I_{C1}$

$I_{C1} = \frac{Y}{2} V_R \; and \; I_{C2} = \frac{Y}{2} V_S$

上記の図から、次のように書くことができます。

$V_S = V_R + I_1 Z$

$V_S = V_R + (I_R + I_{C1}) Z$

$V_S = V_R + Z (I_R + \frac{Y}{2} V_R)$

$V_S = V_R + Z I_R + Z \frac{Y}{2} V_R$

(9) $\begin{equation*} V_S = V_R \left(1 + \frac{YZ}{2} \right) + Z I_R \end{equation*}$

次に、

$I_S = I_1 + I_{C2}$

$I_S = (I_R + I_{C1}) + I_{C2}$

$I_S = I_R + \frac{Y}{2} V_R + \frac{Y}{2} V_S$

この式にVSの値を代入します。

$I_S = I_R + \frac{Y}{2} V_R + \frac{Y}{2} \left[ V_R \left(1 + \frac{YZ}{2} \right) + Z I_R \right]$

$I_S = I_R + \frac{Y}{2} V_R + \frac{Y}{2} (1 + \frac{YZ}{2}) V_R + \frac{Y}{2} I_R Z$

(10) $\begin{equation*} I_S = I_R \left[ 1 + \frac{YZ}{2} \right] + Y V_R \left[ 1 + \frac{YZ}{4} \right] \end{equation*}$

式9と式10をTパラメータの式と比較すると以下のようになります。

$A = 1 + \frac{YZ}{2}$

$B = Z$

$C = Y \left( 1 + \frac{YZ}{4} \right)$

$D = 1 + \frac{YZ}{2}$

長距離送電線

長距離送電線は、分布定数回路としてモデル化されます。これは集中定数回路と仮定することはできません。長距離送電線の分布定数モデルは以下の図に示されています。

長距離送電線のTパラメータ

線路の長さはX kmです。送電線を分析するため、線路の一部（dx）を考えます。下図に示すようにです。

長距離送電線のTパラメータ

Zdx = 直列インピーダンス
Ydx = シャントインピーダンス

長さが増えるにつれて電圧も上昇します。したがって、電圧の上昇は以下の通りです。

$dV = IZdx$

$\frac{dV}{dx} = IZ$

同様に、要素によって引き出される電流は;

$dI = VYdx$

$\frac{dI}{dx} = VY$

上記の式を微分すると;

$\frac{d^2V}{dx^2} = Z \frac{dI}{dx} = ZVY$

上記方程式の一般解は;

$V = K_1 cosh(x\sqrt{YZ}) + K_2 sinh(x \sqrt{YZ})$

次に、この方程式をXについて微分します。

$\frac{dv}{dx} = K_1 \sqrt{YZ} sinh(x\sqrt{YZ}) + K_2 \sqrt{YZ} cosh(x\sqrt{YZ})$

$IZ = K_1 \sqrt{YZ} sinh(x\sqrt{YZ}) + K_2 \sqrt{YZ} cosh(x\sqrt{YZ})$

$I = \sqrt{\frac{Y}{Z}} \left[ K_1 sinh(x\sqrt{YZ}) + K_2 cosh(x\sqrt{YZ})$

次に、定数K1とK2を見つけます。

そのためには、以下の仮定をします。

$x=0, \; V=V_R, \; I=I_R$

これらの値を上記の式に代入すると；

$V_R = K_1 cosh 0 + K_2 sinh 0$

$V_R = K_1 + 0$

$K_1 = V_R$

$I_R = \sqrt{\frac{Y}{Z}} \left[ K_1 sinh 0 + K_2 cosh 0 \right]$

$I_R = \sqrt{\frac{Y}{Z}} [0+K_2]$

$K_2 = \sqrt{\frac{Z}{Y}}$

したがって

$V_S = V_R cosh (x\sqrt{YZ}) + \sqrt{\frac{Z}{Y}} I_R sinh (x\sqrt{YZ})$

$I_S = \sqrt{\frac{Y}{Z}} V_R sinh (x\sqrt{YZ}) + I_R cosh (x\sqrt{YZ})$

$Z_C = \sqrt{\frac{Z}{Y}} \, and \, \gamma = \sqrt{YZ}$

ここで、

ZC = 特性インピーダンス
ɣ = 伝搬定数

$V_S = V_R cosh \gamma x + I_R Z_C sinh \gamma x$

$I_S = \frac{V_R}{Z_C} sinh \gamma x + I_R cosh \gamma x$

これらの式をTパラメータの式と比較します。

$A=cosh \gamma x$

$B=Z_C sinh \gamma x$

$C=\frac{sinh \gamma x}{Z_C}$

$D=\cos \gamma x$

Tパラメータを他のパラメータに変換

Tパラメータの式から他のパラメータを求めることができます。そのためには、Tパラメータを用いて他のパラメータの式を導出する必要があります。

以下の図に示すような一般的な二端子ネットワークを考えます。

conversion of t parameters to other parameters

この図では、受電側の電流の方向が変更されています。したがって、Tパラメータの式にもいくつかの変更が必要となります。

$V_S = V_1, \; V_R = V_2, \; I_S = I_1, \; I_R = -I_2,$

Tパラメータの方程式は以下の通りです。

(11) $\begin{equation*} V_1 = AV_2 - BI_2 \end{equation*}$

(12) $\begin{equation*} I_1 = CV_2 - DI_2 \end{equation*}$

TパラメータからZパラメータへ

以下の式はZパラメータを表しています。

(13) $\begin{equation*} V_1 = Z_{11}I_1 + Z_{12}I_2 \end{equation*}$

(14) $\begin{equation*} V_2 = Z_{21}I_1 + Z_{22}I_2 \end{equation*}$

次に、Zパラメータの式をTパラメータで表す方程式を見つけてみましょう。

$CV_2 = I_1 + DI_2$

(15) $\begin{equation*} V_2 = \frac{1}{C}I_1 + \frac{D}{C} I_2 \end{equation*}$

次に、式14と式15を比較します

$Z_{21} = \frac{1}{C}, \quad Z_{22} = \frac{D}{C}$

次に

$V_1 = A \left[ \frac{1}{C} I_1 + \frac{D}{C}I_2 \right] - BI_2$

$V_1 = \frac{A}{C} I_1 + \frac{AD}{C}I_2 - BI_2$

(16) $\begin{equation*} V_1 = \frac{A}{C}I_1 + \left( \frac{AD-BC}{C} \right) I_2 \end{equation*}$

式13と式16を比較する。

$Z_{11} = \frac{A}{C}, \quad Z_{12} = \frac{AD-BC}{C}$

TパラメータからYパラメータへの変換

Yパラメータの連立方程式は以下の通りです。

(17) $\begin{equation*} I_1 = Y_{11}V_1 + Y_{12}V_2 \end{equation*}$

(18) $\begin{equation*} I_2 = Y_{21}V_1 + Y_{22}V_2 \end{equation*}$

式-12から；

$DI_2 = CV_2 - I_1$

$I_2 = \frac{C}{D}V_2 - \frac{1}{D}I_1$

この値を式11に代入します。

$V_1 = AV_2 - B \left[ \frac{C}{D}V_2 - \frac{1}{D}I_1 \right]$

$V_1 = AV_2 -\frac{BC}{D}V_2 + \frac{B}{D}I_1$

$V_1 = V_2 \left[ \frac{AD-BC}{D} \right] +\frac{B}{D}I_1$

$\frac{B}{D}I_1 = V_1 - V_2 \left[ \frac{AD-BC}{D} \right]$

(19) $\begin{equation*} I_1 = \frac{D}{B}V_1 - \frac{BC-AD}{B}V_2 \end{equation*}$

この式を式-17と比較する。

$Y_{11} = \frac{D}{B}, \quad Y_{12} = \frac{BC-AD}{B}$

式11から；

$BI_2 = AV_2 - V_1$

(20) $\begin{equation*} I_2 = \frac{A}{B} V_2 - \frac{1}{B}V_1 \end{equation*}$

この式を式18と比較する；

$Y_{21} = \frac{-1}{B}, \quad Y_{22} = \frac{A}{B}$

TパラメータからHパラメータへ

Hパラメータの式は以下の通りです。

(21) $\begin{equation*} V_1 = H_{11}I_1 + H_{12}V_2 \end{equation*}$

(22) $\begin{equation*} I_2 = H_{21}I_1 + H_{22}V_2 \end{equation*}$

式12から；

$DI_2 = CV_2 - I_1$

(23) $\begin{equation*} I_2 = \frac{C}{D} V_2 - \frac{1}{D}I_1 \end{equation*}$

この式を式-22と比較します。

$H_{21} = \frac{-1}{D}, \quad H_{22} = \frac{C}{D}$

$V_1 = AV_2 - B \left[ \frac{C}{D} V_2 - \frac{1}{D}I_1 \right]$

$V_1 = AV_2 - \frac{BC}{D}V_2 + \frac{B}{D}I_1$

(24) $\begin{equation*} V_1 = V_2 \left[ \frac{AD-BC}{D} \right] + \frac{B}{D}I_1 \end{equation*}$

$H_{11} = \frac{B}{D}, \quad H_{12} = \frac{AD-BC}{D}$

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