Parámetros T: ¿Qué son? (Ejemplos Problemas y Cómo Convertir Parámetros T a Otros Parámetros)

Campo: Electricidad Básica

China

qué son los parámetros T

¿Qué son los parámetros T?

Los parámetros T se definen como parámetros de línea de transmisión o parámetros ABCD. En una red de dos puertos, el puerto 1 se considera como el extremo de envío y el puerto 2 como el extremo de recepción. En el diagrama de la red a continuación, los terminales del puerto 1 representan el puerto de entrada (envío). De manera similar, los terminales del puerto 2 representan el puerto de salida (recepción).

parámetro T en una red de dos puertos

Parámetro T en una red de dos puertos

Para la red de dos puertos anterior, las ecuaciones de los parámetros T son;

(1) $\begin{equation*} V_S=AV_R + BI_R \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*} I_S=CV_R + DI_R \end{equation*}$

Donde;

VS = Tensión en el extremo de envío tensión
IS = Corriente en el extremo de envío corriente
VR = Tensión en el extremo de recepción
IR = Corriente en el extremo de recepción

Estos parámetros se utilizan para hacer un modelo matemático de una línea de transmisión. Los parámetros A y D son adimensionales. La unidad del parámetro B es ohmio y la del parámetro C es mho.

$\begin{bmatrix} V_S \\ I_S \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_R \\ I_R \end{bmatrix}$

Para encontrar el valor de los parámetros T, necesitamos abrir y cortocircuitar el extremo de recepción. Cuando el extremo de recepción está abierto, la corriente en el extremo de recepción IR es cero. Al introducir este valor en las ecuaciones, obtenemos los valores de los parámetros A y C.

$I_R=0$

condición de circuito abierto

De la ecuación 1;

$V_S=AV_R + B(0)$

$V_S=AV_R$

$A = \left \frac{V_S}{V_R} \right|_ {I_R=0}$

De la ecuación-2;

$I_S = CV_R + D(0)$

$I_S = CV_R$

$C = \left \frac{I_S}{V_R} \right|_ {I_R=0}$

Cuando el extremo receptor está en cortocircuito, el voltaje a través de los terminales receptores VR es cero. Al introducir este valor en la ecuación, podemos obtener los valores de los parámetros B y D.

$V_R = 0$

condición de cortocircuito

De la ecuación-1;

$V_S=A(0) + BI_R$

$V_S = BI_R$

$B = \left \frac{V_S}{I_R} \right|_ {V_R=0}$

A partir de la ecuación-2;

$I_S=C (0) + DI_R$

$I_S = DI_R$

$D = \left \frac{I_S}{I_R} \right|_ {V_R=0}$

Parámetros T Resueltos en un Ejemplo de Problema

Considere que una impedancia está conectada entre los terminales de envío y recepción, como se muestra en la figura a continuación. Encuentre los parámetros T de la red dada.

t parameter example

Ejemplo de parámetro T

Aquí, la corriente en el extremo de envío es la misma que la corriente en el extremo de recepción.

$I_S = I_R$

(3) $\begin{equation*} I_S = (0)V_R + (1) I_R \end{equation*}$

Ahora, aplicamos KVL a la red,

$V_S = V_R + I_S Z_1$

$V_S = V_R + I_R Z_1$

(4) $\begin{equation*} V_S = (1)V_R + (Z_1) I_R \end{equation*}$

Compare la ecuación 1 y 4;

$A = 1, \, B = Z_1$

Compare la ecuación-2 y 3;

$C = 0, \, D = 1$

Parámetros T de una Línea de Transmisión

Según la longitud de la línea, las líneas de transmisión se clasifican como;

Línea de transmisión corta
Línea de transmisión media
Línea de transmisión larga

Ahora, encontramos los parámetros T para todos los tipos de líneas de transmisión.

Línea de Transmisión Corta

La línea de transmisión que tiene una longitud de menos de 80 km y un nivel de tensión inferior a 20 kV se considera una línea de transmisión corta. Debido a la pequeña longitud y el nivel de tensión más bajo, la capacitancia de la línea se desprecia.

Por lo tanto, solo consideramos la resistencia y la inductancia al modelar una línea de transmisión corta. La representación gráfica de la línea de transmisión corta se muestra en la figura siguiente.

t parameter of short transmission line

Parámetros T de la Línea de Transmisión Corta

Donde,
IR = Corriente en el extremo receptor
VR = Voltaje en el extremo receptor
Z = Impedancia de carga
IS = Corriente en el extremo emisor
VS = Voltaje en el extremo emisor
R = Resistencia de la línea
L = Inductancia de la línea

Cuando fluye corriente a través de la línea de transmisión, ocurre una caída de IR en la resistencia de la línea y una caída de IXL en la reactancia inductiva.

En la red anterior, la corriente en el extremo emisor es la misma que la corriente en el extremo receptor.

$I_S = I_R$

$V_S = V_R + I_R Z$

Ahora, compara estas ecuaciones con las ecuaciones de los parámetros T (ecuación 1 y 2). Y obtenemos los valores de los parámetros A, B, C y D para una línea de transmisión corta.

$A = 1, B = Z, C = 0, D = 1$

Línea de Transmisión Media

La línea de transmisión que tiene una longitud de 80 km a 240 km y un nivel de voltaje de 20 kV a 100 kV se considera como una línea de transmisión media.

En el caso de una línea de transmisión media, no podemos descuidar la capacitancia. Debemos considerar la capacitancia al modelar una línea de transmisión media.

Según la ubicación de la capacitancia, las líneas de transmisión media se clasifican en tres métodos:

Método del Condensador Final
Método Nominal T
Método Nominal π

Método del condensador final

En este método, se asume que la capacitancia de la línea está concentrada al final de la línea de transmisión. La representación gráfica del método del condensador final se muestra en la figura siguiente.

t parameter of end condenser method

Parámetros T del Método del Condensador Final

Donde;
IC = Corriente del condensador = YVR

De la figura anterior,

$I_S = I_C + I_R$

(5) $\begin{equation*} I_S = Y V_R + I_R \end{equation*}$

Por KVL, podemos escribir;

$V_S = V_R + Z I_S$

$V_S = V_R + Z (I_C + I_R)$

$V_S = V_R + Z (Y V_R + I_R)$

$V_S = V_R + Z Y V_R + Z I_R$

(6) $\begin{equation*} V_S = V_R (1 + ZY) + Z I_R \end{equation*}$

Ahora, compare las ecuaciones-5 y 6 con las ecuaciones de los parámetros T;

$A = 1 + ZY, \; B = Z , \; C = Y , \; D = 1$

Método T Nominal

En este método, la capacitancia de la línea se coloca en el punto medio de la línea de transmisión. La representación gráfica del Método T Nominal es como se muestra en la figura siguiente.

t parameter of nominal t method

Parámetro T del Método T Nominal

Donde,
IC = Corriente del condensador = YVC
VC = Voltaje del condensador

$V_S = V_C + I_S \frac{Z}{2}$

$V_C = V_R + I_R \frac{Z}{2}$

A partir de KCL;

$I_S = I_R + I_C$

$I_S = I_R + Y V_C$

$I_S = I_R + Y (V_R + I_R \frac{Z}{2})$

$I_S = I_R + Y V_R + Y I_R \frac{Z}{2})$

(7) $\begin{equation*} I_S = Y V_R + I_R (1 + \frac{YZ}{2}) \end{equation*}$

Ahora,

$V_S = V_R + I_R \frac{Z}{2} + I_S \frac{Z}{2}$

$V_S = V_R + I_R \frac{Z}{2} + \frac{Z}{2} \left[ YV_R + I_R (1 + \frac{YZ}{2}) \right]$

$V_S = V_R + I_R \frac{Z}{2} + \frac{Z}{2} YV_R + \frac{Z}{2} I_R (1 + \frac{YZ}{2})$

(8) $\begin{equation*} V_S = V_R \left( 1 + \frac{YZ}{2} \right) + I_R \left( Z + \frac{YZ^2}{4} \right) \end{equation*}$

Ahora, comparemos las ecuaciones 7 y 8 con las ecuaciones de los parámetros T y obtenemos,

$A = 1 + \frac{YZ}{2}$

$B = Z(1+\frac{YZ}{4})$

$C = Y$

$D = 1 + \frac{YZ}{2}$

Método nominal π

En este método, la capacitancia de la línea de transmisión se divide en dos mitades. Una mitad se coloca en el extremo de envío y la segunda mitad se coloca en el extremo de recepción. La representación gráfica del método nominal π se muestra en la figura siguiente.

t parameter of nominal pi method

Parámetro T del Método Nominal π

$I_S = I_1 + I_{C2}$

$I_1 = I_R + I_{C1}$

$I_{C1} = \frac{Y}{2} V_R \; and \; I_{C2} = \frac{Y}{2} V_S$

A partir de la figura anterior, podemos escribir;

$V_S = V_R + I_1 Z$

$V_S = V_R + (I_R + I_{C1}) Z$

$V_S = V_R + Z (I_R + \frac{Y}{2} V_R)$

$V_S = V_R + Z I_R + Z \frac{Y}{2} V_R$

(9) $\begin{equation*} V_S = V_R \left(1 + \frac{YZ}{2} \right) + Z I_R \end{equation*}$

Ahora,

$I_S = I_1 + I_{C2}$

$I_S = (I_R + I_{C1}) + I_{C2}$

$I_S = I_R + \frac{Y}{2} V_R + \frac{Y}{2} V_S$

Sustituye el valor de VS en esta ecuación,

$I_S = I_R + \frac{Y}{2} V_R + \frac{Y}{2} \left[ V_R \left(1 + \frac{YZ}{2} \right) + Z I_R \right]$

$I_S = I_R + \frac{Y}{2} V_R + \frac{Y}{2} (1 + \frac{YZ}{2}) V_R + \frac{Y}{2} I_R Z$

(10) $\begin{equation*} I_S = I_R \left[ 1 + \frac{YZ}{2} \right] + Y V_R \left[ 1 + \frac{YZ}{4} \right] \end{equation*}$

Al comparar las ecuaciones 9 y 10 con las ecuaciones de los parámetros T, obtenemos;

$A = 1 + \frac{YZ}{2}$

$B = Z$

$C = Y \left( 1 + \frac{YZ}{4} \right)$

$D = 1 + \frac{YZ}{2}$

Línea de Transmisión Larga

La línea de transmisión larga se modela como una red distribuida. No se puede asumir como una red concentrada. El modelo distribuido de una línea de transmisión larga es como se muestra en la figura siguiente.

parámetro T de la línea de transmisión larga

Parámetro T de la línea de transmisión larga

La longitud de la línea es X km. Para analizar la línea de transmisión, consideramos una pequeña parte (dx) de la línea. Y se muestra en la figura siguiente.

parámetro T de la línea de transmisión larga

Zdx = impedancia en serie
Ydx = impedancia en paralelo

El voltaje aumenta a lo largo de la longitud. Por lo tanto, el aumento de voltaje es;

$dV = IZdx$

$\frac{dV}{dx} = IZ$

De manera similar, la corriente absorbida por el elemento es;

$dI = VYdx$

$\frac{dI}{dx} = VY$

Diferenciando las ecuaciones anteriores;

$\frac{d^2V}{dx^2} = Z \frac{dI}{dx} = ZVY$

La solución general de la ecuación anterior es;

$V = K_1 cosh(x\sqrt{YZ}) + K_2 sinh(x \sqrt{YZ})$

Ahora, diferencie esta ecuación con respecto a X,

$\frac{dv}{dx} = K_1 \sqrt{YZ} sinh(x\sqrt{YZ}) + K_2 \sqrt{YZ} cosh(x\sqrt{YZ})$

$IZ = K_1 \sqrt{YZ} sinh(x\sqrt{YZ}) + K_2 \sqrt{YZ} cosh(x\sqrt{YZ})$

$I = \sqrt{\frac{Y}{Z}} \left[ K_1 sinh(x\sqrt{YZ}) + K_2 cosh(x\sqrt{YZ})$

Ahora, necesitamos encontrar las constantes K1 y K2;

Para eso, supongamos;

$x=0, \; V=V_R, \; I=I_R$

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones anteriores;

$V_R = K_1 cosh 0 + K_2 sinh 0$

$V_R = K_1 + 0$

$K_1 = V_R$

$I_R = \sqrt{\frac{Y}{Z}} \left[ K_1 sinh 0 + K_2 cosh 0 \right]$

$I_R = \sqrt{\frac{Y}{Z}} [0+K_2]$

$K_2 = \sqrt{\frac{Z}{Y}}$

Por lo tanto,

$V_S = V_R cosh (x\sqrt{YZ}) + \sqrt{\frac{Z}{Y}} I_R sinh (x\sqrt{YZ})$

$I_S = \sqrt{\frac{Y}{Z}} V_R sinh (x\sqrt{YZ}) + I_R cosh (x\sqrt{YZ})$

$Z_C = \sqrt{\frac{Z}{Y}} \, and \, \gamma = \sqrt{YZ}$

Donde,

ZC = Impedancia característica
ɣ = Constante de propagación

$V_S = V_R cosh \gamma x + I_R Z_C sinh \gamma x$

$I_S = \frac{V_R}{Z_C} sinh \gamma x + I_R cosh \gamma x$

Compare estas ecuaciones con las ecuaciones de los parámetros T;

$A=cosh \gamma x$

$B=Z_C sinh \gamma x$

$C=\frac{sinh \gamma x}{Z_C}$

$D=\cos \gamma x$

Conversión de parámetros T a otros parámetros

Podemos encontrar otros parámetros a partir de las ecuaciones de los parámetros T. Para ello, necesitamos encontrar un conjunto de ecuaciones de otros parámetros en términos de los parámetros T.

Consideremos la red de dos puertos generalizada que se muestra en la figura siguiente.

conversión de parámetros t a otros parámetros

En esta figura, la dirección de la corriente en el extremo receptor se ha cambiado. Por lo tanto, consideramos algunos cambios en las ecuaciones de los parámetros T.

$V_S = V_1, \; V_R = V_2, \; I_S = I_1, \; I_R = -I_2,$

Las ecuaciones de los parámetros T son;

(11) $\begin{equation*} V_1 = AV_2 - BI_2 \end{equation*}$

(12) $\begin{equation*} I_1 = CV_2 - DI_2 \end{equation*}$

Parámetro T a parámetros Z

El siguiente conjunto de ecuaciones representa parámetros Z.

(13) $\begin{equation*} V_1 = Z_{11}I_1 + Z_{12}I_2 \end{equation*}$

(14) $\begin{equation*} V_2 = Z_{21}I_1 + Z_{22}I_2 \end{equation*}$

Ahora, encontraremos las ecuaciones de los parámetros Z en términos de los parámetros T.

$CV_2 = I_1 + DI_2$

(15) $\begin{equation*} V_2 = \frac{1}{C}I_1 + \frac{D}{C} I_2 \end{equation*}$

Ahora compara la ecuación-14 con la ecuación-15

$Z_{21} = \frac{1}{C}, \quad Z_{22} = \frac{D}{C}$

Ahora,

$V_1 = A \left[ \frac{1}{C} I_1 + \frac{D}{C}I_2 \right] - BI_2$

$V_1 = \frac{A}{C} I_1 + \frac{AD}{C}I_2 - BI_2$

(16) $\begin{equation*} V_1 = \frac{A}{C}I_1 + \left( \frac{AD-BC}{C} \right) I_2 \end{equation*}$

Compare la ecuación-13 con la ecuación-16;

$Z_{11} = \frac{A}{C}, \quad Z_{12} = \frac{AD-BC}{C}$

Parámetro T a parámetros Y

El conjunto de ecuaciones de los parámetros Y es;

(17) $\begin{equation*} I_1 = Y_{11}V_1 + Y_{12}V_2 \end{equation*}$

(18) $\begin{equation*} I_2 = Y_{21}V_1 + Y_{22}V_2 \end{equation*}$

A partir de la ecuación-12;

$DI_2 = CV_2 - I_1$

$I_2 = \frac{C}{D}V_2 - \frac{1}{D}I_1$

Introduzca este valor en la ecuación-11;

$V_1 = AV_2 - B \left[ \frac{C}{D}V_2 - \frac{1}{D}I_1 \right]$

$V_1 = AV_2 -\frac{BC}{D}V_2 + \frac{B}{D}I_1$

$V_1 = V_2 \left[ \frac{AD-BC}{D} \right] +\frac{B}{D}I_1$

$\frac{B}{D}I_1 = V_1 - V_2 \left[ \frac{AD-BC}{D} \right]$

(19) $\begin{equation*} I_1 = \frac{D}{B}V_1 - \frac{BC-AD}{B}V_2 \end{equation*}$

Compare esta ecuación con la ecuación-17;

$Y_{11} = \frac{D}{B}, \quad Y_{12} = \frac{BC-AD}{B}$

A partir de la ecuación-11;

$BI_2 = AV_2 - V_1$

(20) $\begin{equation*} I_2 = \frac{A}{B} V_2 - \frac{1}{B}V_1 \end{equation*}$

Compare esta ecuación con la ecuación-18;

$Y_{21} = \frac{-1}{B}, \quad Y_{22} = \frac{A}{B}$

Parámetro T a parámetros H

El conjunto de ecuaciones de los parámetros H es;

(21) $\begin{equation*} V_1 = H_{11}I_1 + H_{12}V_2 \end{equation*}$

(22) $\begin{equation*} I_2 = H_{21}I_1 + H_{22}V_2 \end{equation*}$

De la ecuación-12;

$DI_2 = CV_2 - I_1$

(23) $\begin{equation*} I_2 = \frac{C}{D} V_2 - \frac{1}{D}I_1 \end{equation*}$

Compare esta ecuación con la ecuación-22;

$H_{21} = \frac{-1}{D}, \quad H_{22} = \frac{C}{D}$

$V_1 = AV_2 - B \left[ \frac{C}{D} V_2 - \frac{1}{D}I_1 \right]$

$V_1 = AV_2 - \frac{BC}{D}V_2 + \frac{B}{D}I_1$

(24) $\begin{equation*} V_1 = V_2 \left[ \frac{AD-BC}{D} \right] + \frac{B}{D}I_1 \end{equation*}$

$H_{11} = \frac{B}{D}, \quad H_{12} = \frac{AD-BC}{D}$

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