اکسپوننشیئل فوریئر سیریز کا تجزیہ

فوريئر سیریز کا ایک نظر میں جائزہ

ایک مستقل وقت کی سگنل x(t) کو تناوبی کہا جاتا ہے اگر T کی مثبت غیر صفر قدر ہو جس کے لئے

جیسا کہ ہم جانتے ہیں کہ کوئی بھی تناوبی سگنل کو متناسب سائنوڈز یا پیچیدہ اِکسپونینشن میں تقسیم کیا جا سکتا ہے، جب تک وہ ڈائریکلیٹ کی شرائط کو پورا کرتا ہے۔ یہ تحلیل کردہ نمائندگی کو فوريئر سیریز کہا جاتا ہے۔
دو قسم کی فوريئر سیریز کی نمائندگی ہوتی ہے۔ دونوں آپس میں مساوی ہوتی ہیں۔

• ایکسپونینشن فوريئر سیریز

• ٹریگونومیٹرک فوريئر سیریز

دونوں نمائندگیوں کا نتیجہ ایک ہی ہوتا ہے۔ سگنل کی قسم کے مطابق، ہم آسانی کے لحاظ سے کسی بھی نمائندگی کو منتخب کرتے ہیں۔

ایک تناوبی سگنل کو ایکسپونینشن فوريئر سیریز کے لحاظ سے درج ذیل تین مرحلوں میں تجزیہ کیا جاتا ہے:

1. تناوبی سگنل کی نمائندگی۔

2. تناوبی سگنل کا ایمپلیٹیوڈ اور فیز سپیکٹرم۔

3. تناوبی سگنل کا پاور محتوا۔

تناوبی سگنل کی نمائندگی

فوريئر سیریز میں ایک تناوبی سگنل کو دو مختلف وقت کے ڈومینز میں نمائندگی دی جا سکتی ہے:

1. مستمر وقت کا ڈومین۔

2. متقطع وقت کا ڈومین۔

مستمر وقت کا ڈومین

ایک تناوبی سگنل x(t) کی پیچیدہ ایکسپونینشن فوريئر سیریز کی نمائندگی کو بنیادی تناوب To کے لحاظ سے دی گئی ہے

جہاں C کو پیچیدہ فوريئر کوفیشینٹ کہا جاتا ہے اور یہ دیا گیا ہے،

جہاں ∫0T0، کسی ایک تناوب کے لئے انٹیگرل کو ظاہر کرتا ہے اور، 0 سے T0 یا –T0/2 سے T0/2 عام طور پر انٹیگرشن کے لئے استعمال کیے جاتے ہیں۔
معادلہ (3) کو معادلہ (2) کے دونوں جانب e(-jlω0t) سے ضرب دے کر اور ایک وقت کے تناوب کے لئے دونوں جانب انٹیگرل کرنے سے حاصل کیا جا سکتا ہے۔

R.H.S. پر جمع کے اور انٹیگرشن کے آرڈر کو تبدیل کرنے پر، ہم کو ملتا ہے



جب k≠l ہو، تو (5) کے دائیں جانب کو کم اور زیادہ حد پر ملا کر صفر حاصل ہوتا ہے۔ اس کے بر عکس، اگر k=l ہو، تو ہم کو ملتا ہے

اس کے باعث معادلہ (4) کو کم کر کے حاصل کیا جا سکتا ہے



جو x(t) کی اوسط قدر کو ظاہر کرتا ہے۔
جب x (t) حقیقی ہو،

جہاں * کانجیگیٹ کو ظاہر کرتا ہے

متقطع وقت کا ڈومین

متقطع وقت میں فوريئر کی نمائندگی مستمر وقت کے ڈومین میں تناوبی سگنل کی فوريئر کی نمائندگی کے بہت مشابہ ہوتی ہے۔
بنیادی تناوب No کے ساتھ ایک تناوبی سلسلہ x[n] کی متقطع فوريئر سیریز کی نمائندگی دی گئی ہے
جہاں، Ck، فوريئر کوفیشینٹ ہیں اور یہ دیے گئے ہیں

یہ مستمر وقت کے ڈومین میں جیسے ہی حاصل کیا جا سکتا ہے۔

تناوبی سگنل کا ایمپلیٹیوڈ اور فیز سپیکٹرم

ہم پیچیدہ فوريئر کوفیشینٹ Ck کو یوں ظاہر کر سکتے ہیں