Eksponentsiaalsete Fourier' ridade analüüs

Fourieri rida ülevaates

Pidev ajasignaal x(t) on perioodiline, kui leidub positiivne mitte-nulline väärtus T, mille korral

Kui me teame, et igal perioodilisel signaalil saab klassifitseerida harmoniliselt seotud sinusoidide või kompleksse eksponenti, kui see rahuldab Dirichleti tingimusi. See dekomponeeritud esitus nimetatakse FOURIERI RIDAKS.
On olemas kaks tüüpi Fourieri ridade esitust. Mõlemad on omavahel ekvivalentsed.

• Eksponentsed Fourieri ridad

• Trigonomeetrilised Fourieri ridad

Mõlemad esitused annavad sama tulemuse. Sõltuvalt sellest, millist signaali me uurime, valime sobiva esituse vastavalt oma soovile.

Perioodiline signaal analüüsitakse järgmistes kolmes etapis eksponentsed Fourieri ridad:

1. Perioodilise signaali esitus.

2. Perioodilise signaali amplituudispektri ja faasispektri.

3. Perioodilise signaali võimsus.

Perioodilise signaali esitus

Perioodiline signaal Fourieri ridades võib esitada kahe erineva ajaplaanina:

1. Pidev ajaplaan.

2. Diskreetne ajaplaan.

Pidev ajaplaan

Kompleksne eksponentsed Fourieri ridad perioodilise signaali x(t) esitus, mille põhiperiood on To, on antud valemiga

Kus, C on tuntud kui kompleksne Fourieri kordaja ja on antud valemiga,

Kus ∫0T0, tähistab integraali üle ühe perioodi ja, 0 kuni T0 või –T0/2 kuni T0/2 on tavaliselt kasutatavad piirid integreerimiseks.
Valemi (3) saab tuletada, korrutades mõlemad pooled valemis (2) ega(-jlω0t) ja integreerides üle ajaperioodi mõlemal pool.

Summeerimise ja integreerimise järjekorra vahetamisel paremal poolel saame



Kui k≠l, siis paremal poolel (5) alam- ja ülemmäära arvutamine annab nulli. Teisalt, kui k=l, siis meil on

Seega väheneb valem (4)



mis viitab x(t) keskmisele väärtusele ühe perioodi jooksul.
Kui x (t) on reaalne,

Kus, * tähistab liitkujutist

diskreetne ajaplaan

Fourieri esitus diskreetes on väga sarnane Fourieri esitusega perioodilise signaali pidevas ajaplaanis.
Perioodilise jada x[n] diskreetne Fourieri rida, mille põhiperiood on No, on antud valemiga
Kus, Ck, on Fourieri kordajad ja need on antud valemiga

Seda saab tuletada sama moodi, nagu me seda tuletasime pidevas ajaplaanis.

Perioodilise signaali amplituudispektri ja faasispektri

Me saame väljendada kompleksset Fourieri kordajat, Ck kui

Graafik |Ck| vastavalt nurkfreventsile w nimetatakse perioodilise signaali x(t) amplituudispektriks, ja graafik Фk, vastavalt w nimetatakse perioodilise signaali x(t) faasispektriks. Kuna indeks k võtab ainult täisarvulisi väärtusi, ei ole amplituudispekter ja faasispekter jätkuvaid käike, vaid ilmnevad ainult diskreetsetes freventsides kω0, nende tõttu viidatakse neile diskreetsete frentsidespektrete või joonspektrete all.
Reaalse perioodilise signaali x (t) korral on C