Аналіз експоненціального ряду Фур'є

Ряд Фур'є на перший погляд

Сигнал неперервного часу x(t) вважається періодичним, якщо існує додатне ненульове значення T, для якого

Як ми знаємо, будь-який періодичний сигнал можна класифікувати на гармонічно пов'язані синусоїди або комплексні експоненти, якщо він задовольняє умови Діріхле. Це розклад представлень називається РЯДОМ ФУР'Є.
Існують два типи ряду Фур'є. Обидва є еквівалентними один одному.

• Експоненціальний ряд Фур'є

• Тригонометричний ряд Фур'є

Обидва представлення дають однаковий результат. Залежно від типу сигналу, ми обираємо будь-яке з представлення за нашим зручностям.

Періодичний сигнал аналізується в термінах експоненціального ряду Фур'є наступними трьома етапами:

1. Представлення періодичного сигналу.

2. Амплітудний та фазовий спектри періодичного сигналу.

3. Енергетичний вміст періодичного сигналу.

Представлення періодичного сигналу

Періодичний сигнал в ряді Фур'є може бути представлений у двох різних часових областях:

1. Неперервна часові область.

2. Дискретна часові область.

Неперервна часові область

Комплексне експоненціальне представлення ряду Фур'є періодичного сигналу x(t) з основним періодом To задається формулою

де C - це комплексний коефіцієнт Фур'є, який визначається формулою,

де ∫0T0 позначає інтеграл по будь-якому періоду, а 0 до T0 або –T0/2 до T0/2 - це границі, які часто використовуються для інтегрування.
Формулу (3) можна отримати, помноживши обидві сторони формули (2) на e(-jlω0t) і інтегруючи обидві сторони протягом періоду.

Замінивши порядок сумування та інтегрування на ПХС, ми отримуємо



Коли k≠l, права частина (5), оцінена на нижній та верхній границі, дорівнює нулю. З іншого боку, якщо k=l, ми маємо

Внаслідок чого формула (4) зводиться до



що вказує на середнє значення x(t) протягом періоду.
Коли x (t) є дійсним,

де * позначає спряжене

Дискретна часові область

Фур'є представлення в дискретній формі дуже схоже на Фур'є представлення періодичного сигналу в неперервній часовій області.
Дискретне представлення ряду Фур'є періодичної послідовності x[n] з основним періодом No задається формулою
де Ck - це коефіцієнти Фур'є, які задаються формулою

Це можна отримати таким же способом, як і в неперервній часовій області.

Амплітудний та фазовий спектри періодичного сигналу

Ми можемо виразити комплексний коефіцієнт Фур'є Ck як

Графік |Ck| відносно кутової частоти w називається амплітудним спектром періодичного сигналу x(t), а графік Фk відносно w - фазовим спектром x(t). Оскільки індекс k приймає лише цілі значення, а