تحلیل سری فوریه نمایی
نگاهی به سری فوریه
یک سیگنال زمان پیوسته x(t) را متناوب میگویند اگر مقدار مثبت غیر صفر T وجود داشته باشد که برای آن
همانطور که میدانیم هر سیگنال متناوب میتواند به سینوسیهای مرتبط هارمونیک یا نمایی پیچیده تجزیه شود، به شرطی که شرایط دریکله را برآورده کند. این نمایش تجزیه شده به عنوان سری فوریه شناخته میشود.
دو نوع نمایش سری فوریه وجود دارد. هر دو با یکدیگر معادل هستند.
سری فوریه نمایی
سری فوریه مثلثاتی
هر دو نمایش همان نتیجه را ارائه میدهند. بسته به نوع سیگنال، هر یک از این نمایشها را بر اساس راحتی خود انتخاب میکنیم.
یک سیگنال متناوب در سه مرحله زیر با استفاده از سری فوریه نمایی تحلیل میشود:
نمایش سیگنال متناوب.
طیف دامنه و فاز سیگنال متناوب.
محتوای قدرت سیگنال متناوب.
نمایش سیگنال متناوب
یک سیگنال متناوب در سری فوریه میتواند در دو حوزه زمانی مختلف نمایش داده شود:
حوزه زمان پیوسته.
حوزه زمان گسسته.
حوزه زمان پیوسته
نمایش پیچیده سری فوریه نمایی یک سیگنال متناوب x(t) با دوره بنیادی To به صورت زیر است
که در آن C به عنوان ضریب فوریه پیچیده شناخته میشود و به صورت زیر محاسبه میشود:
که ∫0T0، نشاندهنده انتگرال روی یک دوره است و، 0 تا T0 یا –T0/2 تا T0/2 حدود معمولی برای انتگرالگیری هستند.
معادله (3) میتواند با ضرب دو طرف معادله (2) در e(-jlω0t) و انتگرالگیری روی یک دوره از هر دو طرف به دست آید.
با تعویض ترتیب جمع و انتگرالگیری در طرف راست، داریم
وقتی k≠l، طرف راست (5) در حدود بالا و پایین صفر میشود. از طرف دیگر، اگر k=l، داریم
بنابراین معادله (4) به صورت زیر کاهش مییابد
که مقدار متوسط x(t) در یک دوره را نشان میدهد.
وقتی x (t) حقیقی است،
که * نشاندهنده مزدوج است
حوزه زمان گسسته
نمایش فوریه در حوزه گسسته بسیار مشابه با نمایش فوریه یک سیگنال متناوب در حوزه زمان پیوسته است.
نمایش سری فوریه گسسته یک دنباله متناوب x[n] با دوره بنیادی No به صورت زیر است
که در آن Ck، ضرایب فوریه هستند و به صورت زیر محاسبه میشوند
این میتواند به همان روشی که در حوزه زمان پیوسته به دست آمد، به دست آید.
طیف دامنه و فاز یک سیگنال متناوب
میتوان ضریب فوریه پیچیده Ck را به صورت زیر نشان داد
نمودار |Ck| نسبت به فرکانس زاویهای w به عنوان طیف دامنه سیگنال متناوب x(t) شناخته میشود، و نمودار Ф
