Eksponenciālās Furjē rindas analīze

Furjē rinda kopsavilkuma veidā

Nepārtraukts signāls x(t) tiek saukts par periodisku, ja pastāv pozitīva nenulles vērtība T, kam

Kā zināms, jebkurš periodisks signāls var tikt sadalīts harmoniski saistītos sinusoīdās vai kompleksam eksponentiem, ja tas apmierina Dirihle nosacījumus. Šī sadalītā pārstāvība tiek saukta par FURJĒ RINDU.
Ir divi veidi, kā pārstāstīt Furjē rindas. Abi ir vienādi nozīmīgi.

• Eksponentiālā Furjē rinda

• Trigonometriskā Furjē rinda

Abas pārstāvības dāvā to pašu rezultātu. Atkarībā no signāla veida, mēs izvēlamies vienu no pārstāvībām pēc savas gribas.

Periodisks signāls tiek analizēts, izmantojot eksponentiālo Furjē rindu, šajās trim posmās:

1. Periodiska signāla pārstāvība.

2. Periodiska signāla amplitūdas un fāzes spektri.

3. Periodiska signāla enerģijas saturs.

Periodiska signāla pārstāvība

Periodisks signāls Furjē rindā var tikt pārstāvēts divos dažādos laika domēnos:

1. Nepārtrauktā laika domēnā.

2. Diskretā laika domēnā.

Nepārtrauktā laika domēns

Kompleksa eksponentiālā Furjē rindas pārstāvība periodiskam signālam x(t) ar pamatperiodu To ir dota ar

Kur C ir pazīstama kā kompleksais Furjē koeficients un ir dota ar,

Kur ∫0T0, apzīmē integrāli jebkura viena perioda laikā, un 0 līdz T0 vai –T0/2 līdz T0/2 ir bieži izmantotie robežas integrācijai.
Vienādojums (3) var tikt iegūts, reizinot abas vienādojuma (2) puses ar e(-jlω0t) un integrējot laika periodu abās pusēm.

Mainot summas un integrāļa kārtību labajā pusē, mēs iegūstam



Ja k≠l, tad labās puses novērtējums apakšējā un augšējā robežā sniedz nulu. Savukārt, ja k=l, mēs iegūstam

Tātad vienādojums (4) samazinās līdz



kas norāda vidējo vērtību x(t) laika periodā.
Ja x (t) ir reāls,

Kur * norāda konjugāti

Diskretā laika domēns

Furjē pārstāvība diskretā domēnā ir ļoti līdzīga periodiska signāla Furjē pārstāvībai nepārtrauktā laika domēnā.
Diskretā Furjē rindas pārstāvība periodiskam virknē x[n] ar pamatperiodu No ir dota ar
Kur, Ck, ir Furjē koeficienti un tie ir dati ar

To var iegūt tāpat, kā to izvedām nepārtrauktā laika domēnā.

Periodiska signāla amplitūdas un fāzes spektri

Mēs varam izteikt kompleksu Furjē koeficientu, Ck kā

|Ck| pret angulāro frekvenci w grafiks tiek saukts par periodiska signāla x(t) amplitūdas spektru, un Фk pret w grafiks tiek saukts par fāzes spektu. Jo indekss k pieņem tikai veselus skaitļus, amplitūdas un fāzes spektri nav nepārtraukti, bet parādās tikai diskretās frekvencēs kω