Экспоненциал Фурье ряда таҳлили

Fourier seriyasi qisqacha

Agar x(t) davomli vaqt signalining T musbat nol emas qiymati bo'lsa, u periodik hisoblanadi.

Biz bilamizki, har qanday periodik signalni sinusoidal yoki kompleks eksponenta shaklida taqsimlash mumkin, agar u Dirichlet shartlarini qanoatlantasangiz. Bu ajratilgan ifoda FOURIER SERIYASI deb ataladi.
Ikki turdagi Fourier seriyasi ifodalar mavjud. Ular o'zaro teng.

• Ko'paytirilgan Fourier seriyasi

• Trigonometrik Fourier seriyasi

Ikki ifoda ham bir xil natijani beradi. Signal turiga qarab, biz istalgan ifodani tanlaymiz.

Periodik signal quyidagi uch bosqichda Ko'paytirilgan Fourier seriyasi orqali tahlil qilinadi:

1. Periodik signalning ifodalanishi.

2. Periodik signalning amplituda va fazo spektri.

3. Periodik signalning quvvati.

Periodik signalning ifodalanishi

Fourier seriyasida periodik signal ikki turdagi vaqt domenlarda ifodalash mumkin:

1. Davomli vaqt domeni.

2. Diskret vaqt domeni.

Davomli vaqt domeni

Asosiy doira To ga ega bo'lgan periodik signal x(t) ning kompleks Ko'paytirilgan Fourier seriyasi ifodasi quyidagicha beriladi:

Bu yerda, C - bu Kompleks Fourier koeffitsiyenti deyiladi va quyidagicha beriladi:

Bu yerda ∫0T0, bitta doiradagi integralni bildiradi, 0 dan T0 gacha yoki –T0/2 dan T0/2 gacha integral chegaralarini ko'rsatadi.
Tenglama (3) (2) tenglamadan e(-jlω0t) bilan ikkala tomonidan ko'paytirib, va bir doirada integrlash orqali hosil qilinadi.

R.H.S. tomonidagi yig'indilarni almashtirish orqali, biz quyidagicha hosil qilamiz:



k≠l bo'lganda, (5) tenglamani pastki va yuqori chegaralarda baholash nolni beradi. Boshqacha qilib aytganda, agar k=l bo'lsa, biz quyidagicha hosil qilamiz:

Natijada, (4) tenglama quyidagicha qisqaradi:



bu doiradagi x(t) ning o'rtacha qiymatini bildiradi.
x (t) haqiqiy bo'lganda,

Bu yerda, * - konjugatni bildiradi

Diskret vaqt domeni

Diskret domendagi Fourier ifodasi, davomli vaqt domendagi periodik signalning Fourier ifodasi bilan juda o'xshash.
Asosiy doira No ga ega bo'lgan periodik ketma-ketlik x[n] ning diskret Fourier seriyasi ifodasi quyidagicha beriladi:
Bu yerda, Ck, Fourier koeffitsiyentlari hisoblanadi va quyidagicha beriladi:

Bu tenglama, davomli vaqt domendagi kabi ishlab chiqarilishi mumkin.

Periodik signalning amplituda va fazo spektri

Kompleks Fourier koeffitsiyenti Ck quyidagicha ifodalash mumkin:

|Ck| va w orqali chizilgan grafiga periodik signal x(t) ning amplituda spektri deyiladi, Фk va w orqali chizilgan grafiga fazo spektri deyiladi. k butun sonlar qabul qiladi, shuning uchun amplituda va fazo spektrlari mos keluvchi diskret chastotalar kω0 da chiziladi, ular diskret chastota spektrilariga yoki chiziqli spektrilariga aytiladi.
Haqiqiy periodik signal x (t) uchun C-k = C