Analisis Deret Fourier Eksponensial

Seri Fourier dalam Pandangan Singkat

Sinyal waktu kontinu x(t) dikatakan periodik jika ada nilai T positif non-nol untuk mana

Seperti yang kita tahu, sinyal periodik apa pun dapat diklasifikasikan menjadi sinusoid yang berhubungan harmonis atau eksponensial kompleks, asalkan memenuhi Syarat Dirichlet. Representasi yang terurai ini disebut SERI FOURIER.
Dua jenis Seri Fourier representasi ada. Keduanya setara satu sama lain.

• Seri Fourier Eksponensial

• Seri Fourier Trigonometri

Kedua representasi memberikan hasil yang sama. Bergantung pada jenis sinyal, kita memilih salah satu representasi sesuai dengan kebutuhan kita.

Sinyal periodik dianalisis dalam hal Seri Fourier Eksponensial dalam tiga tahap berikut:

1. Representasi Sinyal Periodik.

2. Spektrum Amplitudo dan Fase dari Sinyal Periodik.

3. Kandungan Daya dari Sinyal Periodik.

Representasi Sinyal Periodik

Sinyal periodik dalam Seri Fourier mungkin direpresentasikan dalam dua domain waktu yang berbeda:

1. Domain Waktu Kontinu.

2. Domain Waktu Diskret.

Domain Waktu Kontinu

Reprentasi Seri Fourier Eksponensial kompleks dari sinyal periodik x(t) dengan periode dasar To diberikan oleh

Di mana, C dikenal sebagai Koefisien Fourier Kompleks dan diberikan oleh,

Di mana ∫0T0, menunjukkan integral selama satu periode, dan 0 hingga T0 atau –T0/2 hingga T0/2 adalah batas yang biasa digunakan untuk integrasi.
Persamaan (3) dapat diturunkan dengan mengalikan kedua sisi persamaan (2) dengan e(-jlω0t) dan mengintegrasikan selama satu periode di kedua sisi.

Dengan menukar urutan penjumlahan dan integrasi di R.H.S., kita mendapatkan



Ketika, k≠l, sisi kanan (5) dievaluasi pada batas bawah dan atas menghasilkan nol. Di sisi lain, jika k=l, kita memiliki

Akibatnya, persamaan (4) berkurang menjadi



yang menunjukkan nilai rata-rata x(t) selama satu periode.
Ketika x (t) nyata,

Di mana, * menunjukkan konjugat

Domain Waktu Diskret

Representasi Fourier dalam diskrit sangat mirip dengan representasi Fourier dari sinyal periodik di domain waktu kontinu.
Representasi seri Fourier diskrit dari urutan periodik x[n] dengan periode dasar No diberikan oleh
Di mana, Ck, adalah koefisien Fourier dan diberikan oleh

Ini dapat diturunkan dengan cara yang sama seperti yang kita turunkan di domain waktu kontinu.

Spektrum Amplitudo dan Fase dari Sinyal Periodik

Kita dapat menyatakan Koefisien Fourier Kompleks, Ck sebagai

Plot |Ck| versus frekuensi sudut w disebut spektrum amplitudo dari sinyal periodik x(t), dan plot Фk, versus w disebut spektrum fase dari x(t). Karena indeks k hanya mengambil bilangan bulat, spektrum amplitudo dan fase tidak berupa kurva kontinu tetapi hanya muncul pada frekuensi diskrit kω0, sehingga disebut sebagai spektrum frekuensi diskrit atau spektrum garis.
Untuk sinyal periodik nyata x (t) kita memiliki C-k = Ck*. Dengan demikian,