Phân tích chuỗi Fourier mũ
Tổng quan về Chuỗi Fourier
Một tín hiệu thời gian liên tục x(t) được coi là chu kỳ nếu có một giá trị T dương và không bằng không cho phép
Như chúng ta biết, bất kỳ tín hiệu chu kỳ nào cũng có thể được phân loại thành các hàm sin hoặc hàm mũ phức liên quan đến nhau, miễn là nó thỏa mãn Điều kiện Dirichlet. Biểu diễn phân giải này được gọi là CHUỖI FOURIER.
Có hai loại Chuỗi Fourier. Cả hai đều tương đương với nhau.
Chuỗi Fourier theo hàm mũ
Chuỗi Fourier theo hàm lượng giác
Cả hai biểu diễn đều cho kết quả giống nhau. Tùy thuộc vào loại tín hiệu, chúng ta chọn bất kỳ biểu diễn nào theo sự thuận tiện của mình.
Một tín hiệu chu kỳ được phân tích theo Chuỗi Fourier theo hàm mũ trong ba giai đoạn sau:
Biểu diễn tín hiệu chu kỳ.
Đồ thị biên độ và pha của tín hiệu chu kỳ.
Nội dung công suất của tín hiệu chu kỳ.
Biểu diễn tín hiệu chu kỳ
Một tín hiệu chu kỳ trong Chuỗi Fourier có thể được biểu diễn trong hai miền thời gian khác nhau:
Miền thời gian liên tục.
Miền thời gian rời rạc.
Miền thời gian liên tục
Biểu diễn Chuỗi Fourier theo hàm mũ phức của tín hiệu chu kỳ x(t) với chu kỳ cơ bản To được cho bởi
Trong đó, C là hệ số Fourier phức và được cho bởi,
Trong đó ∫0T0, biểu thị tích phân trên một chu kỳ và, 0 đến T0 hoặc –T0/2 đến T0/2 là các giới hạn thường được sử dụng cho tích phân.
Phương trình (3) có thể được suy ra bằng cách nhân cả hai vế của phương trình (2) với e(-jlω0t) và tích phân qua một chu kỳ thời gian ở cả hai vế.
Bằng cách hoán đổi thứ tự tổng và tích phân ở bên phải, chúng ta có
Khi k≠l, vế phải của (5) tính tại giới hạn dưới và trên cho kết quả bằng không. Mặt khác, nếu k=l, chúng ta có
Do đó, phương trình (4) giảm xuống còn
điều này chỉ giá trị trung bình của x(t) trong một chu kỳ.
Khi x (t) là thực,
Trong đó, * chỉ số phức hợp
Miền thời gian rời rạc
Biểu diễn Fourier trong miền rời rạc rất giống với biểu diễn Fourier của tín hiệu chu kỳ trong miền thời gian liên tục.
Biểu diễn chuỗi Fourier rời rạc của dãy chu kỳ x[n] với chu kỳ cơ bản No được cho bởi
Trong đó, Ck, là các hệ số Fourier và được cho bởi
Có thể suy ra điều này theo cùng cách như chúng ta đã suy ra trong miền thời gian liên tục.
Đồ thị biên độ và pha của tín hiệu chu kỳ
Chúng ta có thể biểu diễn Hệ số Fourier phức Ck như
Biểu đồ |Ck| so với tần số góc w được gọi là đồ thị biên độ của tín hiệu chu kỳ x(t), và biểu đồ Фk, so với w được gọi là đồ thị pha của x(t). Do chỉ số k chỉ nhận các số nguyên, nên đồ thị biên độ và pha không phải là các đường cong liên tục mà chỉ xuất hiện ở các tần số rời rạc kω0, do đó chúng được gọi là phổ tần số rời rạc hoặc phổ tần số rời rạc.
Đối với tín hiệu chu kỳ thực x (t) chúng ta có C-k = Ck*. Do đó,
