Exponenciális Fourier-sor elemzése

Fourier-sor gyorsan

Egy folyamatos időbeli jel x(t) periodikusnak számít, ha van egy pozitív, nem nulla T érték, amelyre

Ahogy tudjuk, bármely periodikus jel felbontható harmonikusan kapcsolódó szinuszoidokra vagy komplex exponenciális formákra, feltéve, hogy kielégíti a Dirichlet-feltételeket. Ez a felbontott reprezentáció nevezi a FOURIER-SOR.
Két típusú Fourier-sor reprezentáció létezik. Mindkettő egymással ekvivalens.

• Exponenciális Fourier-sor

• Trigonometriai Fourier-sor

Mindkét reprezentáció ugyanazt az eredményt adja. A jel típusától függően bármelyik reprezentációt a kényelmi okokból választhatjuk.

Egy periodikus jel analízise Exponenciális Fourier-sor segítségével a következő három szakaszban történik:

1. Periodikus jel reprezentációja.

2. Periodikus jel amplitúdó- és fázisspektruma.

3. Periodikus jel teljesítménytartalma.

Periodikus jel reprezentációja

Egy periodikus jel Fourier-sorban két különböző időtartományban reprezentálható:

1. Folyamatos időtartomány.

2. Diszkrét időtartomány.

Folyamatos időtartomány

Egy periodikus jel x(t) Exponenciális Fourier-sor reprezentációja alapperiódussal To a következőképpen adható meg:

Ahol, C a Komplex Fourier-együttható, és a következőképpen adható meg:

Ahol ∫0T0, jelenti a perióduson végig tartó integrált, és 0-tól T0-ig, vagy –T0/2-től T0/2-ig a gyakran használt határok az integrálhoz.
A (3) egyenletet úgy lehet levezetni, hogy mindkét oldalát megszorozzuk e(-jlω0t)-vel, és integrálunk egy időperióduson át mindkét oldalon.

A sorozat és integrál sorrendjének cseréje a R.H.S.-en, a következőt adja:



Amikor, k≠l, a (5) jobb oldala a alsó és felső határértékekben nullát ad. Másrészről, ha k=l, akkor

Ekkor a (4) egyenlet a következőre redukálódik:



ami a x(t) átlagos értékét jelenti egy perióduson.
Amikor x (t) valós,

Ahol, * konjugáltot jelöl

Diszkrét időtartomány

A diszkrét Fourier-sor reprezentáció nagyon hasonló a folyamatos időtartományú periodikus jel Fourier-reprezentációjához.
Egy periodikus sorozat x[n] diszkrét Fourier-sor reprezentációja alapperiódussal No a következőképpen adható meg:
Ahol, Ck, a Fourier-együtthatók, és a következőképpen adhatók meg:

Ezt ugyanúgy levezethetjük, mint a folyamatos időtartományban.

Periodikus jel amplitúdó- és fázisspektruma

A Komplex Fourier-együttható, Ck a következőképpen fejezhető ki:

A |Ck| versus a szögfrekvencia w ábrázolása a periodikus jel x(t) amplitúdóspektruma, míg a Фk versus w ábrázolása a fázisspektruma. Mivel az index k csak egész számokat vehet fel, az amplitúdó- és fázisspektrumok nem folyamatos görbék, hanem csak diszkrét frekvenciákon jelennek meg, ezért diszkrét frekvenciaspektrumokként vagy vonalspektrumokként ismertek.
Egy valós periodikus jel x (t) esetén C