Analyse Exponentialis Seriei Fourier

Seriei Fourier in Brevi

Signum temporis continuo x(t) dicitur esse periodicum si est valor positivus non nullus T pro quo

Ut scimus omne signum periodicum potest classificari in sinusoides vel exponentiales complexae, si satisfacit Conditionibus Dirichlet. Haec representatio decomposita vocatur SERIES FOURIER.
Duae species Series Fourier sunt. Ambae aequivalentes alteri.

• Series Fourier Exponentialis

• Series Fourier Trigonometrica

Ambo representationes eundem resultatum dant. Secundum typum signi, quaelibet earum representationum secundum commoditatem nostram eligimus.

Signum periodicum analysatur per Series Fourier Exponentialis in sequentibus tribus stadiis:

1. Representatio Signi Periodici.

2. Spectra Amplitudinis et Phasorum Signi Periodici.

3. Contentus Potentiae Signi Periodici.

Representatio Signi Periodici

Signum periodicum in Serie Fourier potest repraesentari in duobus diversis dominiis temporis:

1. Dominius Temporis Continui.

2. Dominius Temporis Discreti.

Dominius Temporis Continui

Repraesentatio Series Fourier Exponentialis complexa signi periodici x(t) cum periodo fundamental To datur a

ubi C notatur ut Coefficiens Fourier Complexus et datur a,

ubi ∫0T0, denotat integrale super unum periodum, et, 0 ad T0 vel –T0/2 ad T0/2 sunt limites communiter usitati pro integratione.
Aequatio (3) derivari potest multiplicando ambas partes aequationis (2) per e(-jlω0t) et integrando super periodum tempus ambo latera.

Mutando ordinem summationis et integrationis in R.H.S., habemus



Cum, k≠l, pars dextra aequationis (5) evaluetur in limite inferiore et superiore reddunt nihil. Contrario modo, si k=l, habemus

Consequenter aequatio (4) reducitur ad



quod indicat valorem medium x(t) super periodum.
Cum x (t) sit reale,

ubi, * indicat conjugatum

Dominius Temporis Discreti

Repraesentatio Fourier in discretis simillima est repraesentationi Fourier signi periodici in dominiis temporis continui.
Repraesentatio Series Fourier discreti signi periodicum x[n] cum periodo fundamental No datur a
ubi, Ck, sunt coefficientes Fourier et dantur a

Hoc derivari potest eodem modo quo in dominiis temporis continui derivavimus.

Spectra Amplitudinis et Phasorum Signi Periodici

Possumus exprimere Coefficientem Fourier Complexum, Ck ut

Graphus |Ck| versus frequentiam angularem w vocatur spectrum amplitudinis signi periodici x(t), et graphus Фk, versus w vocatur spectrum phasorum x(t). Quia index k solum numeros integros assumit, spectra amplitudinis et phasorum non sunt curvae continuae sed apparet solummodo in frequentiis discretis kω0, ideo referuntur ut spectra frequentiarum discretarum vel linearum.
Pro signo periodico reali x (t) habemus C-k = Ck*. Itaque,