এক্সপোনেনশিযাল ফুরিয়ার সিরিজের বিশ্লেষণ

ফুরিয়ার সিরিজের একটি দৃশ্য

একটি অবিচ্ছিন্ন সময় সিগনাল x(t) হল পর্যায়বদ্ধ, যদি T এর একটি ধনাত্মক অশূন্য মান থাকে যার জন্য

আমরা যেমন জানি যে যেকোনো পর্যায়বদ্ধ সিগনালকে হারমোনিকভাবে সম্পর্কিত সাইনাসয়েড বা জটিল এক্সপোনেনশিয়াল হিসাবে শ্রেণীবদ্ধ করা যায়, যদি এটি ডিরিখ্লের শর্ত পূরণ করে। এই বিঘ্টিত প্রতিনিধিত্বকে ফুরিয়ার সিরিজ বলা হয়।
দুই ধরনের ফুরিয়ার সিরিজ প্রতিনিধিত্ব রয়েছে। উভয়ই একে অপরের সমতুল্য।

• জটিল ফুরিয়ার সিরিজ

• ত্রিকোণমিতিক ফুরিয়ার সিরিজ

উভয় প্রতিনিধিত্ব একই ফলাফল দেয়। সিগনালের ধরনের উপর নির্ভর করে, আমরা আমাদের সুবিধার অনুযায়ী যেকোনো প্রতিনিধিত্ব বেছে নিতে পারি।

একটি পর্যায়বদ্ধ সিগনাল নিম্নলিখিত তিনটি পর্যায়ে জটিল ফুরিয়ার সিরিজ দিয়ে বিশ্লেষণ করা হয়:

1. পর্যায়বদ্ধ সিগনালের প্রতিনিধিত্ব।

2. পর্যায়বদ্ধ সিগনালের আম্প্লিটিউড ও পর্যায় স্পেকট্রাম।

3. পর্যায়বদ্ধ সিগনালের শক্তি বিষয়ক তথ্য।

পর্যায়বদ্ধ সিগনালের প্রতিনিধিত্ব

ফুরিয়ার সিরিজে একটি পর্যায়বদ্ধ সিগনাল দুইটি ভিন্ন সময় ডোমেনে প্রতিনিধিত্ব করা যায়:

1. অবিচ্ছিন্ন সময় ডোমেন।

2. বিচ্ছিন্ন সময় ডোমেন।

অবিচ্ছিন্ন সময় ডোমেন

মৌলিক পর্যায় To সহ একটি পর্যায়বদ্ধ সিগনাল x(t) এর জটিল ফুরিয়ার সিরিজ প্রতিনিধিত্ব দেওয়া হয়

যেখানে, C হল জটিল ফুরিয়ার সহগ এবং এটি দেওয়া হয়,

যেখানে ∫0T0, একটি পর্যায়ের উপর যোগজ নির্দেশ করে এবং, 0 থেকে T0 বা –T0/2 থেকে T0/2 যোগজের জন্য ব্যবহৃত সাধারণ সীমা।
সমীকরণ (3) সমীকরণ (2) এর উভয় পাশে e(-jlω0t) দ্বারা গুণ করে এবং উভয় পাশে একটি সময় পর্যায়ের উপর যোগজ নেওয়ার মাধ্যমে উত্পন্ন করা যায়।

R.H.S. এর উপর যোগজ ও সমষ্টির ক্রম পরিবর্তন করলে আমরা পাই



যখন, k≠l, (5) এর ডান পাশের মান নিম্ন এবং উচ্চ সীমায় মূল্যায়ন করলে শূন্য পাওয়া যায়। অন্যদিকে, যদি k=l, তাহলে আমরা পাই

ফলে সমীকরণ (4) হয়



যা একটি পর্যায়ে x(t) এর গড় মান নির্দেশ করে।
যখন x (t) বাস্তব,

যেখানে, * নির্দেশ করে সংযুক্ত

বিচ্ছিন্ন সময় ডোমেন

বিচ্ছিন্ন সময় ডোমেনে ফুরিয়ার প্রতিনিধিত্ব অবিচ্ছিন্ন সময় ডোমেনের পর্যায়বদ্ধ সিগনালের ফুরিয়ার প্রতিনিধিত্বের সাথে অনেক মিল রয়েছে।
মৌলিক পর্যায় No সহ একটি পর্যায়বদ্ধ অনুক্রম x[n] এর বিচ্ছিন্ন ফুরিয়ার সিরিজ প্রতিনিধিত্ব দেওয়া হয়