Pagsusi sa Exponential Fourier Series

Fourier Series sa Isang Tingin

Ang isang signal na may patuloy na oras x(t) ay inihuhusay na periodiko kung mayroong positibong hindi-zero na halaga ng T para sa kung saan

Bilang karunungan, anumang periodikong signal ay maaaring ikategorya sa harmonically related sinusoids o complex exponential, depende kung ito ay sumasang-ayon sa Dirichlet’s Conditions. Ang nahahati na representasyon na ito ay tinatawag na FOURIER SERIES.
Dalawang uri ng Fourier Series representation ang mayroon. Pareho silang katumbas ng bawat isa.

• Exponential Fourier Series

• Trigonometric Fourier Series

Pareho ang resulta ng parehong representation. Batay sa uri ng signal, pinipili natin ang anumang representation batay sa ating convenience.

Isinasalaysay ang isang periodikong signal sa termino ng Exponential Fourier Series sa mga sumusunod na tatlong yugto:

1. Representation of Periodic Signal.

2. Amplitude and Phase Spectra of a Periodic Signal.

3. Power Content of a Periodic Signal.

Representation of Periodic Signal

Maaaring ipakita ang isang periodikong signal sa Fourier Series sa dalawang iba't ibang oras na domain:

1. Continuous Time Domain.

2. Discrete Time Domain.

Continuous Time Domain

Ang complex Exponential Fourier Series representation ng isang periodikong signal x(t) na may fundamental na panahon To ay ibinibigay ng

Kung saan, C ay kilala bilang ang Complex Fourier Coefficient at ibinibigay ng,

Kung saan ∫0T0, nagsisimula ang integral sa anumang isang panahon at, 0 hanggang T0 o –T0/2 hanggang T0/2 ang mga limit na kadalasang ginagamit para sa integration.
Ang equation (3) maaaring makuha sa pamamagitan ng pag-multiply sa parehong gilid ng equation (2) ng e(-jlω0t) at i-integrate sa loob ng isang panahon ng parehong gilid.

Sa pag-interchange ng order ng summation at integration sa R.H.S., nakukuha natin



Kapag, k≠l, ang right hand side ng (5) na in-evaluate sa lower at upper limit nagbibigay ng zero. Sa kabilang banda, kung k=l, kami ay may

Dahil dito, ang equation (4) nababawasan sa



na nagpapahiwatig ng average value ng x(t) sa loob ng isang panahon.
Kapag x (t) ay real,

Kung saan, * nagsasaad ng conjugate

Discrete Time Domain

Ang Fourier representation sa discrete ay malapit na kapareho ng Fourier representation ng periodikong signal sa continuous time domain.
Ang discrete Fourier series representation ng isang periodikong sequence x[n] na may fundamental na panahon No ay ibinibigay ng
Kung saan, Ck, ang mga Fourier coefficients at ibinibigay ng

Ito ay maaaring makalkula sa parehong paraan kung paano namin ito kinalkula sa continuous time domain.

Amplitude and Phase Spectra of a Periodic Signal

Maaari nating ipahayag ang Complex Fourier Coefficient, Ck bilang

Ang plot ng |Ck| laban sa angular frequency w ay tinatawag na amplitude spectrum ng periodikong signal x(t), at ang plot ng Фk, laban sa w ay tinatawag na phase spectrum ng x(t). Dahil ang index k ay kumukuha lamang ng integers, ang amplitude at phase spectra ay hindi continuous curves ngunit lumilitaw lamang sa discrete frequencies kω0, kaya sila ay tinatawag na discrete frequency spectra o line spectra.
Sa isang totoong periodikong signal x (t) kami ay may C-k = Ck