Analisis ng Exponential Fourier Series

Serye Fourier sa Isang Tingin

Ang isang signal na may patuloy na oras x(t) ay sinasabing periodiko kung mayroong positibong hindi-zero na halaga ng T para sa kanya

Bilang alam natin, anumang signal na periodiko maaaring ikategorya sa harmonically related sinusoids o complex exponential, depende kung ito ay sumasapat sa Mga Kondisyon ni Dirichlet. Ang representasyon na ito ay tinatawag na SERYE FOURIER.
Dalawang uri ng Serye Fourier ang representasyon. Pareho silang katumbas ng bawat isa.

• Exponential Fourier Series

• Trigonometric Fourier Series

Parehong nagbibigay ng parehong resulta ang mga representasyon. Batay sa uri ng signal, pinipili natin ang anumang representasyon batay sa aming kapakinabangan.

Ang isang signal na periodiko ay inaanalisa sa termino ng Exponential Fourier Series sa mga sumusunod na tatlong yugto:

1. Pagpapakita ng Periodic Signal.

2. Amplitude at Phase Spectra ng Periodic Signal.

3. Power Content ng Periodic Signal.

Pagpapakita ng Periodic Signal

Ang isang periodic signal sa Serye Fourier maaaring ipakita sa dalawang iba't ibang oras na domain:

1. Continuous Time Domain.

2. Discrete Time Domain.

Continuous Time Domain

Ang komplikadong Exponential Fourier Series representation ng isang periodic signal x(t) na may pundamental na panahon To ay ibinibigay ng

Kung saan, C ay kilala bilang Complex Fourier Coefficient at ibinibigay ng,

Kung saan ∫0T0, nagsasaad ng integral sa loob ng anumang isang panahon at, 0 hanggang T0 o –T0/2 hanggang T0/2 ang mga limit na karaniwang ginagamit para sa integrasyon.
Ang ekwasyon (3) maaaring makamit sa pamamagitan ng pagmultiply ng parehong bahagi ng ekwasyon (2) ng e(-jlω0t) at i-integrate sa loob ng isang panahon sa parehong bahagi.

Sa pag-interchange ng order ng summation at integrasyon sa R.H.S., nakukuha natin



Kapag, k≠l, ang right hand side ng (5) na in-evaluate sa lower at upper limit ay nagbibigay ng zero. Sa kabilang banda, kung k=l, mayroon tayo

Kaya ang ekwasyon (4) nababawasan sa



na nagpapahiwatig ng average value ng x(t) sa loob ng isang panahon.
Kapag x (t) ay real,

Kung saan, * nagsasaad ng conjugate

Discrete Time Domain

Ang Fourier representation sa discrete ay napaka-similar sa Fourier representation ng periodic signal ng continuous time domain.
Ang discrete Fourier series representation ng isang periodic sequence x[n] na may pundamental na panahon No ay ibinibigay ng
Kung saan, Ck, ang mga Fourier coefficients at ibinibigay ng

Ito ay maaaring makamit sa parehong paraan kung paano namin ito kinuha sa continuous time domain.

Amplitude at Phase Spectra ng Periodic Signal

Maaari nating ipahayag ang Complex Fourier Coefficient, Ck bilang

Isang plot ng |Ck| laban sa angular frequency w ay tinatawag na amplitude spectrum ng periodic signal x(t), at isang plot ng Фk, laban sa w ay tinatawag na phase spectrum ng x(t). Dahil ang index k ay asumsiyon lamang ng integers, ang amplitude at phase spectra ay hindi continuous curves ngunit lumilitaw lamang sa mga discrete frequencies kω0, kaya sila ay tinatawag na discrete frequency spectra o line spectra.
Sa isang tunay na periodic signal x (t) mayroon tayo C-k = Ck