Analyse der Exponential-Fourierreihe
Fourier-Reihen auf einen Blick
Ein kontinuierliches Zeitsignal x(t) wird als periodisch bezeichnet, wenn es einen positiven, nicht null Wert von T gibt, für den
Wie wir wissen, kann jedes periodische Signal in harmonisch verwandte Sinusoiden oder komplexe Exponentialfunktionen zerlegt werden, vorausgesetzt, es erfüllt die Dirichletschen Bedingungen. Diese zerlegte Darstellung wird als FOURIER-REIHE bezeichnet.
Zwei Arten der Fourier-Reihen-Darstellung existieren. Beide sind äquivalent zueinander.
Exponentielle Fourier-Reihe
Trigonometrische Fourier-Reihe
Beide Darstellungen liefern das gleiche Ergebnis. Abhängig vom Typ des Signals wählen wir eine der Darstellungen nach unserem Bedarf.
Ein periodisches Signal wird in Bezug auf die Exponentielle Fourier-Reihe in den folgenden drei Stufen analysiert:
Darstellung des periodischen Signals.
Amplituden- und Phasenspektrum eines periodischen Signals.
Leistungsinhalt eines periodischen Signals.
Darstellung des periodischen Signals
Ein periodisches Signal in der Fourier-Reihe kann in zwei verschiedenen Zeitbereichen dargestellt werden:
Kontinuierlicher Zeitbereich.
Diskreter Zeitbereich.
Kontinuierlicher Zeitbereich
Die komplexe Exponentielle Fourier-Reihe-Darstellung eines periodischen Signals x(t) mit der Grundperiode To ist gegeben durch
Dabei ist C der sogenannte Komplexe Fourier-Koeffizient und wird wie folgt berechnet:
Dabei steht ∫0T0 für das Integral über eine Periode, und 0 bis T0 oder –T0/2 bis T0/2 sind die üblichen Integrationsgrenzen.
Die Gleichung (3) kann hergeleitet werden, indem beide Seiten der Gleichung (2) mit e(-jlω0t) multipliziert und über eine Zeitspanne integriert werden.
Durch Vertauschung der Reihenfolge von Summierung und Integration auf der rechten Seite erhalten wir
Wenn k≠l, ergibt die rechte Seite von (5) bei den unteren und oberen Grenzen Null. Andererseits, wenn k=l, haben wir
Daher reduziert sich Gleichung (4) zu
was den Durchschnittswert von x(t) über eine Periode anzeigt.
Wenn x (t) real ist,
Dabei bedeutet * die Konjugation
Diskreter Zeitbereich
Die Fourier-Darstellung im Diskreten ist sehr ähnlich zur Fourier-Darstellung eines periodischen Signals im Kontinuierlichen.
Die diskrete Fourier-Reihendarstellung einer periodischen Folge x[n] mit der Grundperiode No ist gegeben durch
Dabei sind Ck, die Fourier-Koeffizienten und werden wie folgt berechnet:
Dies kann auf die gleiche Weise hergeleitet werden, wie wir es im kontinuierlichen Zeitbereich getan haben.
Amplituden- und Phasenspektrum eines periodischen Signals
Wir können den komplexen Fourier-Koeffizienten, Ck wie folgt ausdrücken:
Ein Plot von |Ck| in Abhängigkeit von der Winkelfrequenz ω wird als Amplitudenspektrum des periodischen Signals x(t) bezeichnet, und ein Plot von Фk in Abhängigkeit von ω wird als Phasenspektrum von x(t) bezeichnet. Da der Index k nur ganzzahlige Werte annimmt, sind die Amplituden- und Phasenspektren keine stetigen Kurven, sondern erscheinen nur bei diskreten Frequenzen kω0. Sie werden daher als diskrete Frequenzspektren oder Linienspektren bezeichnet.
Für ein reelles periodisches Signal x (t) gilt C-k = Ck
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