Экспоненциалды Фурье ретінің талдауы

Фурье реттілігі жалпы көрсеткіштің көзінде

Егер T нөлден басқа оң мәні болса, уақыттың үзілуінің сигналы x(t) периодты деп аталады.

Біздің білетінімізше, егер әрбір периодты сигнал Диріхле шарттарын қанағаттандырса, оның гармоникалық байланысты синусоидалар немесе комплекс экспоненталық түрлерге бөлінетіні мүмкін. Бұл жіктелген көрсеткісі - ФУРЬЕ РЕТТІЛІГІ деп аталады.
Екі түрдегі Фурье реттілігі көрсеткіштері бар. Екеуі де бір-бірімен тең.

• Экспоненциалды Фурье реттілігі

• Тригонометрикалық Фурье реттілігі

Екеуі де бірдей нәтиже береді. Сигналдың түріне байланысты, біз өзіміздің ыңғайлауымызға қарай кез келген көрсеткішті таңдаймыз.

Периодты сигнал үш этапта Экспоненциалды Фурье реттілігі арқылы талданады:

1. Периодты сигналдың көрсеткіші.

2. Периодты сигналдың амплитудасы мен фазасы спектрлері.

3. Периодты сигналдың энергиясы.

Периодты сигналдың көрсеткіші

Фурье реттілігіндегі периодты сигнал екі өзара айырмалы уақыт аймағында көрсетіледі:

1. Жалғыз уақыт аймағы.

2. Дискретті уақыт аймағы.

Жалғыз уақыт аймағы

Негізгі периоды To болған периодты сигнал x(t) үшін комплекс экспоненциалды Фурье реттілігі мына формула арқылы беріледі:

Мұнда, C - комплекс Фурье коэффициенті деп аталады және мына формула арқылы беріледі:

Мұнда ∫0T0, - бір период бойынша интеграл, 0-ден T0 же –T0/2-ден T0/2 - интегралдың шекаралары.
(3) теңдеу (2) теңдеудің екі жағын e(-jlω0t) ге көбейтіп, бір период бойынша интегралдау арқылы алынатын.

Оң жақ жағында суммалану және интегралдау ретін ауыстыру арқылы, біз мына формуланы алады:



Егер k≠l болса, (5) теңдеудің оң жағының төменгі және жоғарғы шекараларындағы мәні нөлге тең. Бірақ, егер k=l болса, біз мына формуланы аламыз:

Сонымен, (4) теңдеу мына формулага қысқартылады:



Бұл x(t) сигналының периоды бойынша орта мәнін көрсетеді.
Егер x (t) нақты сан болса,

Мұнда, * - конъюгация белгіленеді

Дискретті уақыт аймағы

Дискретті уақыт аймағындағы Фурье көрсеткіші жалғыз уақыт аймағындағы периодты сигналдың Фурье көрсеткішіне ұқсас.
Негізгі периоды No болған дискретті периодты тізбегі x[n] үшін Фурье реттілігі мына формула арқылы беріледі:
Мұнда, Ck, - Фурье коэффициенттері және мына формула арқылы беріледі:

Бұл жалғыз уақыт аймағындағы сияқты алынған.

Периодты сигналдың амплитудасы және фазасы спектрлері

Комплекс Фурье коэффициенті Ck мына формула арқылы беріледі:

|C