Ανάλυση της Εκθετικής Σειράς Fourier

Σειρές Fourier σε Προβολή

Ένα σήμα συνεχούς χρόνου x(t) λέγεται περιοδικό εάν υπάρχει μια θετική μη μηδενική τιμή T για την οποία

Όπως γνωρίζουμε, κάθε περιοδικό σήμα μπορεί να ταξινομηθεί σε αρμονικά συνδεδεμένες συνημιτόνες ή περιπλέξεις, εφόσον εκπληρώνει τις Συνθήκες Dirichlet. Αυτή η διασπασμένη αναπαράσταση ονομάζεται ΣΕΙΡΕΣ FOURIER.
Υπάρχουν δύο τύποι αναπαράστασης Σειρών Fourier. Και οι δύο είναι ισοδύναμες.

• Εκθετικές Σειρές Fourier

• Τριγωνομετρικές Σειρές Fourier

Και οι δύο αναπαραστάσεις δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα. Με βάση τον τύπο του σήματος, επιλέγουμε οποιαδήποτε αναπαράσταση σύμφωνα με την ευκολία μας.

Ένα περιοδικό σήμα αναλύεται ως Εκθετικές Σειρές Fourier στα επόμενα τρία στάδια:

1. Αναπαράσταση Περιοδικού Σήματος.

2. Φάσμα Αμπλιτούδας και Φάσης Περιοδικού Σήματος.

3. Περιεχόμενο Δυνάμεως Περιοδικού Σήματος.

Αναπαράσταση Περιοδικού Σήματος

Ένα περιοδικό σήμα σε Σειρές Fourier μπορεί να αναπαρασταθεί σε δύο διαφορετικά χρονικά πεδία:

1. Χρονικό Πεδίο Συνεχούς Χρόνου.

2. Χρονικό Πεδίο Διακριτού Χρόνου.

Χρονικό Πεδίο Συνεχούς Χρόνου

Η περίπλοκη Εκθετική Σειρά Fourier αναπαράσταση ενός περιοδικού σήματος x(t) με βασική περίοδο To δίνεται από

όπου, C είναι γνωστό ως το Περίπλοκο Συντελεστή Fourier και δίνεται από,

όπου ∫0T0, δηλώνει το ολοκλήρωμα σε οποιαδήποτε μία περίοδο και, 0 έως T0 ή –T0/2 έως T0/2 είναι τα περιορισμοί που συνήθως χρησιμοποιούνται για το ολοκλήρωμα.
Η εξίσωση (3) μπορεί να προκύψει αν πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης (2) με e(-jlω0t) και ολοκληρώσουμε για μία περίοδο σε και τις δύο πλευρές.

Αντικαθιστώντας τη σειρά ολοκλήρωσης και άθροισης στη δεξιά πλευρά, παίρνουμε



Όταν, k≠l, η δεξιά πλευρά της (5) αξιολογείται στα κατώτερα και ανώτερα όρια δίνει μηδέν. Από την άλλη, αν k=l, έχουμε

Επομένως η εξίσωση (4) μειώνεται σε



το οποίο δείχνει τη μέση τιμή του x(t) για μία περίοδο.
Όταν x (t) είναι πραγματικό,

όπου, * δηλώνει συζυγή

Χρονικό Πεδίο Διακριτού Χρόνου

Η αναπαράσταση Fourier στο διακριτό είναι πολύ παρόμοια με την αναπαράσταση Fourier ενός περιοδικού σήματος στο χρονικό πεδίο συνεχούς χρόνου.
Η διακριτή αναπαράσταση Fourier ενός περιοδικού ακολουθίας x[n] με βασική περίοδο No δίνεται από
όπου, Ck, είναι οι συντελεστές Fourier και δίνονται από