تحلیل سری فوریه نمایی
نظرة عامة على سلسلة فورير
يُقال إن إشارة الوقت المستمرة x(t) دورية إذا كان هناك قيمة موجبة غير صفرية لـ T والتي تحقق
كما نعلم، يمكن تصنيف أي إشارة دورية إلى جيبات ذات علاقة توافقي أو أسية معقدة، شريطة أن تفي بشروط ديريشليت. يُطلق على هذه التمثيل المفكك اسم سلسلة فورير.
هناك نوعان من تمثيل سلسلة فورير وهما مكافئان لبعضهما البعض.
سلسلة فورير الأسية
سلسلة فورير الجيبية
يعطي كلا التمثيلين نفس النتيجة. بناءً على نوع الإشارة، نختار أيًا من التمثيلين حسب رغبتنا.
تحلل الإشارة الدورية في شكل سلسلة فورير الأسية في ثلاث مراحل:
تمثيل الإشارة الدورية.
طيف السعة و الطور للإشارة الدورية.
محتوى الطاقة للإشارة الدورية.
تمثيل الإشارة الدورية
يمكن تمثيل الإشارة الدورية في سلسلة فورير في مجالين زمنيين مختلفين:
المجال الزمني المستمر.
المجال الزمني المتقطع.
المجال الزمني المستمر
يُعطى التمثيل المعقد لسلسلة فورير الأسية للإشارة الدورية x(t) ذات الفترة الأساسية To بواسطة
حيث C هو ما يعرف بمعامل فورير المعقد ويُعطى بواسطة،
حيث ∫0T0، يشير إلى التكامل على فترة واحدة، و 0 إلى T0 أو –T0/2 إلى T0/2 هي الحدود الشائعة الاستخدام للتكامل.
يمكن استنتاج المعادلة (3) بضرب طرفي المعادلة (2) في e(-jlω0t) وتكامل الطرفين على فترة زمنية.
عن طريق تبديل ترتيب الجمع والتكامل في الجانب الأيمن، نحصل على
عندما k≠l، فإن الجانب الأيمن من (5) عند تقييمه عند الحدود الدنيا والعليا ينتج صفر. من ناحية أخرى، إذا كان k=l، لدينا
وبالتالي تقلص المعادلة (4) إلى
والذي يشير إلى القيمة المتوسطة لـ x(t) خلال فترة.
عندما تكون x (t) حقيقية،
حيث * يشير إلى المرافق
المجال الزمني المتقطع
تمثيل فورير في المجال المتقطع مشابه جداً لتمثيل فورير للإشارة الدورية في المجال الزمني المستمر.
يُعطى التمثيل المتقطع لسلسلة فورير للإشارة الدورية x[n] ذات الفترة الأساسية No بواسطة
حيث Ck، هي معاملات فورير وتُعطى بواسطة
يمكن استنتاج ذلك بنفس الطريقة التي استنتجناها في المجال الزمني المستمر.
طيف السعة والطور للإشارة الدورية
يمكن التعبير عن معامل فورير المعقد Ck كـ
رسم بياني لـ |Ck| مقابل التردد الزاوي w يسمى طيف السعة للإشارة الدورية x(t)، ورسم بياني لـ Фk مقابل w يسمى طيف الطور لـ x(t). بما أن المؤشر k يأخذ فقط الأعداد الصحيحة، فإن طيف السعة والطور ليسا منحنيات مستمرة ولكن يظهرون فقط عند الترددات المتقطعة kω0، وبالتالي يشار إليهما باسم طيف التردد المتقطع أو طيف الخطوط.
بالنسبة للإشارة الدورية الحقيقية x (t) لدينا C-k = Ck*. وبالتالي،
