Análise da serie exponencial de Fourier

Serie de Fourier ao primeiro olhar

Unha sinal de tempo continuo x(t) dise que é periódico se hai un valor positivo non nulo de T para o cal

Como sabemos, calquera sinal periódico pode clasificarse en sinusoides relacionados harmónicamente ou exponenciais complexos, sempre que satisfaga as Condicions de Dirichlet. Esta representación descomposta chámase SERIE DE FOURIER.
Existen dous tipos de Serie de Fourier. Ambas son equivalentes entre si.

• Serie Exponencial de Fourier

• Serie Trigonométrica de Fourier

Ambas as representacións dan o mesmo resultado. Dependendo do tipo de sinal, escolleremos calquera das representacións segundo a nosa comodidade.

Un sinal periódico analízase en termos de Serie Exponencial de Fourier nas seguintes tres etapas:

1. Representación do Sinal Periódico.

2. Espectros de Amplitude e Fase dun Sinal Periódico.

3. Contido de Potencia dun Sinal Periódico.

Representación do Sinal Periódico

Un sinal periódico na Serie de Fourier pode representarse en dous dominios de tempo diferentes:

1. Dominio de Tempo Continuo.

2. Dominio de Tempo Discreto.

Dominio de Tempo Continuo

A representación complexa da Serie Exponencial de Fourier dun sinal periódico x(t) con período fundamental To dáse por

Onde, C coñécese como o Coeficiente Complexo de Fourier e dáse por,

Onde ∫0T0, denota a integral sobre calquera período e, 0 a T0 ou –T0/2 a T0/2 son os límites comúnmente utilizados para a integración.
A ecuación (3) pódese derivar multiplicando ambos lados da ecuación (2) por e(-jlω0t) e integrar durante un período de tempo ambos os lados.

Ao intercambiar a orde da suma e a integración no lado dereito, obtemos



Cando k≠l, o lado dereito de (5) avaliado nos límites inferior e superior dá cero. Por outro lado, se k=l, temos

En consecuencia, a ecuación (4) redúcese a



que indica o valor medio de x(t) durante un período.
Cando x (t) é real,

Onde, * indica conxugado

Dominio de Tempo Discreto

A representación de Fourier en discreto é moi semellante á representación de Fourier dun sinal periódico no dominio de tempo continuo.
A representación en serie de Fourier discreta dunha secuencia periódica x[n] con período fundamental No dáse por
Onde, Ck, son os coeficientes de Fourier e dáse por

Isto pódese derivar da mesma maneira que o derivamos no dominio de tempo continuo.

Espectros de Amplitude e Fase dun Sinal Periódico

Podemos expresar o Coeficiente Complexo de Fourier, Ck como

Un gráfico de |Ck| en función da frecuencia angular w chámase espectro de amplitude do sinal periódico x(t), e un gráfico de Фk, en función de w chámase espectro de fase de x(t). Como o índice k só assume enteiros, os espectros de amplitude e fase non son curvas continuas, senón que aparecen só nas frecuencias discretas kω0, polo que chámanse espectros de frecuencia discreta ou espectros de liña.
Para un sinal periódico real x (t) temos C-k = Ck*. Así,