Anàlisi de la sèrie de Fourier exponencial
Sèrie de Fourier a un Vist d'Ocell
Es diu que un senyal de temps continu x(t) és periòdic si hi ha un valor positiu no nul de T per al qual
Com sabem, qualsevol senyal periòdic es pot classificar en sinusoides relacionats harmònica o exponencials complexos, sempre que satisfaci les Condicions de Dirichlet. Aquesta representació descomposada s'anomena SÈRIE DE FOURIER.
Hi ha dos tipus de Sèries de Fourier. Ambdós són equivalents entre si.
Sèrie Exponencial de Fourier
Sèrie Trigonomètrica de Fourier
Ambdues representacions donen el mateix resultat. Depenent del tipus de senyal, triem qualsevol de les representacions segons la nostra conveniència.
Un senyal periòdic es analitza en termes de Sèrie Exponencial de Fourier en els tres estadios següents:
Representació del Senyal Periòdic.
Espectres d'Amplitud i Fase d'un Senyal Periòdic.
Contingut de Potència d'un Senyal Periòdic.
Representació del Senyal Periòdic
Un senyal periòdic en la Sèrie de Fourier es pot representar en dos dominis de temps diferents:
Domini de Temps Continu.
Domini de Temps Discret.
Domini de Temps Continu
La representació complexa de la Sèrie Exponencial de Fourier d'un senyal periòdic x(t) amb període fonamental To es dóna per
On, C és conegut com el Coeficient Complex de Fourier i es dóna per,
On ∫0T0, denota la integral sobre qualsevol període i, 0 a T0 o –T0/2 a T0/2 són els límits comunament utilitzats per a la integració.
L'equació (3) es pot derivar multiplicant ambdós costats de l'equació (2) per e(-jlω0t) i integrant sobre un període de temps ambdós costats.
En intercanviar l'ordre de la suma i la integració a la R.H.S., obtenim
Quan k≠l, el costat dret de (5) evaluat als límits inferior i superior dóna zero. D'altra banda, si k=l, tenim
Conseqüentment, l'equació (4) es redueix a
el que indica el valor mitjà de x(t) sobre un període.
Quan x (t) és real,
On, * indica conjugat
Domini de Temps Discret
La representació de Fourier en discret és molt semblant a la representació de Fourier d'un senyal periòdic en el domini de temps continu.
La representació de la sèrie de Fourier discreta d'una seqüència periòdica x[n] amb període fonamental No es dóna per
On, Ck, són els coeficients de Fourier i es dónen per
Això es pot derivar de la mateixa manera que ho hem derivat en el domini de temps continu.
Espectres d'Amplitud i Fase d'un Senyal Periòdic
Podem expressar el Coeficient Complex de Fourier, Ck com
Un gràfic de |Ck| versus la freqüència angular w s'anomena l'espectre d'amplitud del senyal periòdic x(t), i un gràfic de Фk, versus w s'anomena l'espectre de fase de x(t). Com que l'índex k només assumeix enters, els espectres d'amplitud i fase no són corbes contínues sinó que només apareixen a les freqüències discretes kω0, per tant, es referixen com a espectres de freqüència discreta o espectres de línia.
Per a un senyal periòdic real x (t) tenim C-k = C
