지수 푸리에 급수의 분석
한눈에 보는 푸리에 급수
연속 시간 신호 x(t)가 주기적이라고 할 때, T가 양의 0이 아닌 값으로
우리가 알고 있듯이, 모든 주기적인 신호는 조화 관련 사인파 또는 복소 지수로 분류될 수 있으며, 이는 디리클레 조건을 만족하는 경우입니다. 이러한 분해된 표현은 푸리에 급수라고 합니다.
두 가지 유형의 푸리에 급수 표현이 있습니다. 두 표현은 서로 동등합니다.
지수형 푸리에 급수
삼각형 푸리에 급수
두 표현 모두 같은 결과를 제공합니다. 신호의 종류에 따라 편의에 따라 어느 표현을 선택할 수 있습니다.
주기적인 신호는 다음 세 단계에서 지수형 푸리에 급수로 분석됩니다:
주기적인 신호의 표현.
주기적인 신호의 진폭과 위상 스펙트럼.
주기적인 신호의 전력 내용.
주기적인 신호의 표현
푸리에 급수에서 주기적인 신호는 두 가지 다른 시간 영역에서 표현될 수 있습니다:
연속 시간 영역.
이산 시간 영역.
연속 시간 영역
주기적인 신호 x(t)의 복잡한 지수형 푸리에 급수 표현은 기본 주기 To로 주어집니다
여기서, C는 복잡한 푸리에 계수로 알려져 있으며, 다음과 같이 주어집니다,
여기서 ∫0T0,는 어떤 한 주기의 적분을 나타내며, 0부터 T0 또는 –T0/2부터 T0/2까지의 범위가 일반적으로 사용됩니다.
식 (3)은 식 (2)의 양변을 e(-jlω0t)로 곱하고 시간 주기 동안 양변을 적분하여 도출할 수 있습니다.
R.H.S.에서 합과 적분의 순서를 바꾸면
k≠l일 때, (5)의 오른쪽 항은 하한과 상한에서 평가하면 0이 됩니다. 반면, k=l일 때, 우리는
따라서 식 (4)는
이것은 기간 동안 x(t)의 평균 값을 나타냅니다.
x (t)가 실수일 때,
여기서, *는 켤레를 의미합니다
이산 시간 영역
이산에서의 푸리에 표현은 연속 시간 영역의 주기적인 신호의 푸리에 표현과 매우 유사합니다.
기본 주기 No를 가진 주기적인 시퀀스 x[n]의 이산 푸리에 급수 표현은 다음과 같습니다
여기서, Ck는 푸리에 계수이며, 다음과 같이 주어집니다
이는 연속 시간 영역에서와 동일한 방법으로 도출할 수 있습니다.
주기적인 신호의 진폭 및 위상 스펙트럼
복잡한 푸리에 계수 Ck를 다음과 같이 표현할 수 있습니다
|Ck|와 각 주파수 w 사이의 그래프를 주기적인 신호 x(t)의 진폭 스펙트럼이라고 하며, Фk와 w 사이의 그래프를 x(t)의 위상 스펙트럼이라고 합니다. 인덱스 k는 정수만 가정하므로, 진폭 및 위상 스펙트럼은 연속적인 곡선이 아니며, 이산적인 주파수 kω0에서만 나타나므로, 이를 이산 주파수 스펙트럼 또는 선 스펙트럼이라고 합니다.
실수 주기적인 신호 x (t)에 대해 C-k = Ck
