指数フーリエ級数の解析
一目でわかるフーリエ級数
連続時間信号x(t)が周期的であるとは、正の非ゼロ値Tが存在し、以下の式が成り立つことを意味します。
我々が知っているように、任意の周期信号は調和関係のある正弦波または複素指数関数に分類することができます。ただし、ディリクレ条件を満たす必要があります。この分解表現をフーリエ級数と呼びます。
二つの種類のフーリエ級数表現があります。これらは互いに等価です。
指数フーリエ級数
三角フーリエ級数
両方の表現は同じ結果をもたらします。信号の種類に応じて、便利な表現を選択することができます。
周期信号は、以下の三つの段階で指数フーリエ級数によって解析されます。
周期信号の表現.
周期信号の振幅スペクトルと位相スペクトル.
周期信号の電力内容.
周期信号の表現
フーリエ級数における周期信号は、以下の二つの異なる時間領域で表現できます。
連続時間領域.
離散時間領域.
連続時間領域
基本周期Toを持つ周期信号x(t)の複素指数フーリエ級数表現は以下の通りです。
ここで、Cは複素フーリエ係数と呼ばれ、以下のように与えられます。
ここで∫0T0は、任意の一つの周期に対する積分を表し、通常、0からT0または–T0/2からT0/2までの範囲が積分の限界として使用されます。
式(3)は、式(2)の両辺にe(-jlω0t)を掛け、両辺を時間周期で積分することにより導出されます。
右辺の総和と積分の順序を入れ替えると、以下のようになります。
k≠lの場合、(5)の右辺は下限と上限で評価すると0になります。一方、k=lの場合、以下のようになります。
したがって、式(4)は以下のようになります。
これは、期間内のx(t)の平均値を示しています。
x (t)が実数の場合、
ここで、*は共役を示します。
離散時間領域
離散時間領域でのフーリエ表現は、連続時間領域の周期信号のフーリエ表現と非常に似ています。
基本周期Noを持つ周期シーケンスx[n]の離散フーリエ級数表現は以下の通りです。
ここで、Ckはフーリエ係数であり、以下の通り与えられます。
これは、連続時間領域と同じ方法で導出することができます。
周期信号の振幅スペクトルと位相スペクトル
複素フーリエ係数Ckは以下の通り表せます。
|Ck|と角周波数wのプロットを周期信号x(t)の振幅スペクトルと呼び、Фkとwのプロットを位相スペクトルと呼びます。kが整数のみを仮定するため、振幅スペクトルと位相スペクトルは連続的な曲線ではなく、離散的な周波数kω0のみで現れます。そのため、これらのスペクトルは離散周波数スペクトルまたは線スペクトルと呼ばれます。
実数の周期信号x (t)に対しては、C-k = Ck*となります。したがって、
したがって、振幅スペクトルはωの偶関
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