अस्पष्ट फुरिया श्रेणीको विश्लेषण
फुरिये श्रृंखला की संक्षिप्त जानकारी
यदि T का एक धनात्मक गैर-शून्य मान हो, तो निरंतर समय सिग्नल x(t) आवर्ती कहलाता है
जैसा कि हम जानते हैं, कोई भी आवर्ती सिग्नल उसके अनुसार गामी संबंधित साइनसॉइड या जटिल त्वरित द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है, जब तक यह डिरिचलेट की शर्तों को पूरा करता है। यह विघटित प्रतिनिधित्व को फुरिये श्रृंखला कहा जाता है।
दो प्रकार के फुरिये श्रृंखला प्रतिनिधित्व होते हैं। दोनों एक दूसरे के बराबर होते हैं।
त्वरित फुरिये श्रृंखला
त्रिकोणमितीय फुरिये श्रृंखला
दोनों प्रतिनिधित्व समान परिणाम देते हैं। सिग्नल के प्रकार के आधार पर, हम अपनी सुविधा के अनुसार किसी भी प्रतिनिधित्व का चयन करते हैं।
एक आवर्ती सिग्नल को त्वरित फुरिये श्रृंखला के रूप में निम्नलिखित तीन चरणों में विश्लेषित किया जाता है:
आवर्ती सिग्नल का प्रतिनिधित्व।
आवर्ती सिग्नल का आयाम और दশा स्पेक्ट्रा।
आवर्ती सिग्नल की शक्ति सामग्री।
आवर्ती सिग्नल का प्रतिनिधित्व
फुरिये श्रृंखला में एक आवर्ती सिग्नल दो अलग-अलग समय क्षेत्रों में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:
सतत समय क्षेत्र।
डिस्क्रीट समय क्षेत्र।
सतत समय क्षेत्र
आवर्ती सिग्नल x(t) का जटिल त्वरित फुरिये श्रृंखला प्रतिनिधित्व जिसका मूलभूत आवर्ती T0 है, निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है
जहाँ, C जटिल फुरिये गुणांक के रूप में जाना जाता है और इस प्रकार दिया जाता है,
जहाँ ∫0T0, किसी एक आवर्ती के लिए समाकलन को दर्शाता है, और, 0 से T0 या –T0/2 से T0/2 सामान्यतः समाकलन के लिए सीमाएँ होती हैं।
समीकरण (3) को समीकरण (2) के दोनों ओर e(-jlω0t) से गुणा करके और दोनों ओर एक समय आवर्ती के लिए समाकलन करके व्युत्पन्न किया जा सकता है।
R.H.S. पर योग और समाकलन के क्रम को बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं
जब, k≠l, तो (5) के दाहिने हिस्से का निम्न और ऊपरी सीमा पर मूल्यांकन शून्य देता है। दूसरी ओर, यदि k=l, तो हमारे पास है
इस प्रकार समीकरण (4) का रूप बदलकर निम्न हो जाता है
जो x(t) का एक आवर्ती के लिए औसत मान दर्शाता है।
जब x (t) वास्तविक होता है,
जहाँ, * संयुग्म को दर्शाता है
डिस्क्रीट समय क्षेत्र
डिस्क्रीट में फुरिये प्रतिनिधित्व बहुत ही सतत समय क्षेत्र के आवर्ती सिग्नल के फुरिये प्रतिनिधित्व के समान होता है।
मूलभूत आवर्ती N0 के साथ एक आवर्ती अनुक्रम x[n] का डिस्क्रीट फुरिये श्रृंखला प्रतिनिधित्व निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है
जहाँ, Ck, फुरिये गुणांक हैं और इस प्रकार दिया जाता है
