Analys av exponential fourierserie
Fourier-serien i ett nötskal
Ett kontinuerligt tidsignal x(t) anses vara periodiskt om det finns en positiv icke-nollvärde T för vilket
Som vi vet kan alla periodiska signaler kategoriseras in i harmoniskt relaterade sinusoider eller komplexa exponentialer, förutsatt att de uppfyller Dirichlets villkor. Denna dekomponerade representation kallas FOUERIER-SERIE. Det finns två typer av Fourier-serierepresentationer. Båda är ekvivalenta med varandra.
Exponentiell Fourier-serie
Trigonometrisk Fourier-serie
Båda representationerna ger samma resultat. Beroende på typen av signal väljer vi någon av representationerna enligt vår bekvämlighet.
En periodisk signal analyseras i termer av exponentiell Fourier-serie i följande tre steg:
Representation av periodisk signal.
Amplitud och faspektrum för en periodisk signal.
Effektinnehåll för en periodisk signal.
Representation av periodisk signal
En periodisk signal i Fourier-serie kan representeras i två olika tidsdomäner:
Kontinuerlig tidsdomän.
Diskret tidsdomän.
Kontinuerlig tidsdomän
Den komplexa exponentiella Fourier-serierepresentationen av en periodisk signal x(t) med grundperiod To ges av
Där C är känt som den komplexa Fouriers-koefficienten och ges av,
Där ∫0T0, betecknar integralen över en period och, 0 till T0 eller –T0/2 till T0/2 är de gränser som vanligtvis används för integrationen. Ekvation (3) kan härledas genom att multiplicera båda sidor av ekvation (2) med e(-jlω0t) och integrera över en tidsperiod på båda sidor.
Genom att byta plats på summation och integration på RHS, får vi
När k≠l, utvärderas höger sida av (5) vid nedre och övre gräns till noll. Å andra sidan, om k=l, har vi
Konsekvent reduceras ekvation (4) till
vilket indikerar medelvärdet av x(t) över en period. När x (t) är reell,
Där * indikerar konjugat
Diskret tidsdomän
Fourier-representation i diskret form är mycket lik Fourier-representation av periodiska signaler i kontinuerlig tidsdomän. Den diskreta Fourier-serierepresentationen av en periodisk sekvens x[n] med grundperiod No ges av
Där, Ck, är Fourier-koefficienterna och ges av
Detta kan härledas på samma sätt som vi gjorde det i kontinuerlig tidsdomän.
Amplitud och faspektrum för en periodisk signal
Vi kan uttrycka den komplexa Fouriers-koefficienten, Ck som
Ett diagram över |Ck| mot den vinkelfrekvensen w kallas amplitudspektrumet för den periodiska signalen x(t), och ett diagram över Фk, mot w kallas faspektrumet för x(t). Eftersom index k endast antar heltal, är inte amplitud- och faspektrumen kontinuerliga kurvor utan dyker bara upp vid diskreta frekvenser kω0, de refereras därför till som diskreta frekvensspektra eller linjespektra. För en reell periodisk signal x (t) har vi C-k = Ck*. Således,
Sålunda är amplitudspektrumet en jämn funktion av ω, och faspektrumet är en udda funktion av 0 för en reell periodisk signal.
