Էքսպոնենցիալ Ֆուրիեի շարքի վերլուծություն
Ֆուրյեի շարքը մի տեսքով
Համընդհանուր ժամանակի սիգնալ x(t)-ը կոչվում է պարբերական, եթե գոյություն ունի T դրական ոչ-զրոյական արժեք, որի համար
Ինչպես մենք գիտենք, ցանկացած պարբերական սիգնալ կարող է դասակարգվել համարժեք սինուսոիդների կամ կոմպլեքս էքսպոնենցիալների մեջ, եթե այն բավարարում է Դիրիխլեի պայմաններին: Այս դիֆերենցված ներկայացումը կոչվում է ՖՈՒՐՅԵԻ ՇԱՐՔ:
Երկու տեսակի Ֆուրյեի շարքի ներկայացում կա: Նրանք իրար համարժեք են:
Էքսպոնենցիալ Ֆուրյեի շարք
Տրիգոնոմետրիկ Ֆուրյեի շարք
Բոլոր ներկայացումները տալիս են նույն արդյունքը: Սիգնալի տեսակի ընդացքով մենք ընտրում ենք ցանկալի ներկայացումը իմաստալի հարմարության համար:
Պարբերական սիգնալը վերլուծվում է այս երեք փուլերով էքսպոնենցիալ Ֆուրյեի շարքի տերմիններով:
Պարբերական սիգնալի ներկայացում:
Պարբերական սիգնալի ամպլիտուդային և փուլային սպեկտրները:
Պարբերական սիգնալի էներգիայի պարամետրը:
Պարբերական սիգնալի ներկայացում
Ֆուրյեի շարքում պարբերական սիգնալը կարող է ներկայացվել երկու տարբեր ժամանակային տիրույթներում:
Միանշանակ ժամանակային տիրույթ:
Դիսկրետ ժամանակային տիրույթ:
Միանշանակ ժամանակային տիրույթ
Պարբերական սիգնալ x(t)-ի կոմպլեքս էքսպոնենցիալ Ֆուրյեի շարքի ներկայացումը հիմնական պարբերությամբ T0 տրվում է հետևյալ բանաձևով
որտեղ C կոչվում է Կոմպլեքս Ֆուրյեի գործակից և տրվում է հետևյալ բանաձևով,
որտեղ ∫0T0, նշանակում է ցանկացած մեկ պարբերության վրա ինտեգրալը, և օգտագործվում են սովորաբար 0 և T0 կամ –T0/2 և T0/2 սահմանները ինտեգրալի համար:
(3) հավասարումը ստացվում է (2) հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով e(-jlω0t)-ով և ինտեգրելով ժամանակային պարբերության վրա երկու կողմերը:
Սովորողական գումարումը և ինտեգրումը փոխարինելով հավասարումների երկու կողմերում, ստանում ենք
Երբ k≠l, (5) հավասարման աջ կողմը սահմաններում 0 է դառնում: Մյուս կողմից, եթե k=l, ունենք
Այսպիսով, (4) հավասարումը կրճատվում է հետևյալ կերպ
որը ցույց է տալիս x(t)-ի միջին արժեքը պարբերության վրա:
Երբ x(t) իրական է,
որտեղ * նշանակում է կոնյուգատ
Դիսկրետ ժամանակային տիրույթ
Դիսկրետ ժամանակային տիրույթում Ֆուրյեի ներկայացումը շատ նման է միանշանակ ժամանակային տիրույթում պարբերական սիգնալի Ֆուրյեի ներկայացմանը:
x[n] պարբերական հաջորդականության դիսկրետ Ֆուրյեի շարքի ներկայացումը հիմնական պարբերությամբ N0 տրվում է հետևյալ բանաձևով
որտեղ, Ck, Ֆուրյեի գործակիցներն են և տրվում են հետևյալ բանաձևով
Սա նույն ձևով ստացվում է, ինչպես միանշանակ ժամանակային տիրույթում:
Պարբերական սիգնալի ամպլիտուդային և փուլային սպեկտրները
Մենք կարող ենք արտահայտել կոմպլեքս Ֆուրյեի գործակից Ck-ը հետևյալ կերպ
