Էքսպոնենցիալ Ֆուրիեի շարքի վերլուծություն

Ֆուրյեի շարքը մի տեսքով

Համընդհանուր ժամանակի սիգնալ x(t)-ը կոչվում է պարբերական, եթե գոյություն ունի T դրական ոչ-զրոյական արժեք, որի համար

Ինչպես մենք գիտենք, ցանկացած պարբերական սիգնալ կարող է դասակարգվել համարժեք սինուսոիդների կամ կոմպլեքս էքսպոնենցիալների մեջ, եթե այն բավարարում է Դիրիխլեի պայմաններին: Այս դիֆերենցված ներկայացումը կոչվում է ՖՈՒՐՅԵԻ ՇԱՐՔ:
Երկու տեսակի Ֆուրյեի շարքի ներկայացում կա: Նրանք իրար համարժեք են:

• Էքսպոնենցիալ Ֆուրյեի շարք

• Տրիգոնոմետրիկ Ֆուրյեի շարք

Բոլոր ներկայացումները տալիս են նույն արդյունքը: Սիգնալի տեսակի ընդացքով մենք ընտրում ենք ցանկալի ներկայացումը իմաստալի հարմարության համար:

Պարբերական սիգնալը վերլուծվում է այս երեք փուլերով էքսպոնենցիալ Ֆուրյեի շարքի տերմիններով:

1. Պարբերական սիգնալի ներկայացում:

2. Պարբերական սիգնալի ամպլիտուդային և փուլային սպեկտրները:

3. Պարբերական սիգնալի էներգիայի պարամետրը:

Պարբերական սիգնալի ներկայացում

Ֆուրյեի շարքում պարբերական սիգնալը կարող է ներկայացվել երկու տարբեր ժամանակային տիրույթներում:

1. Միանշանակ ժամանակային տիրույթ:

2. Դիսկրետ ժամանակային տիրույթ:

Միանշանակ ժամանակային տիրույթ

Պարբերական սիգնալ x(t)-ի կոմպլեքս էքսպոնենցիալ Ֆուրյեի շարքի ներկայացումը հիմնական պարբերությամբ T₀ տրվում է հետևյալ բանաձևով

որտեղ C կոչվում է Կոմպլեքս Ֆուրյեի գործակից և տրվում է հետևյալ բանաձևով,

որտեղ ∫₀^T₀, նշանակում է ցանկացած մեկ պարբերության վրա ինտեգրալը, և օգտագործվում են սովորաբար 0 և T₀ կամ –T₀/2 և T₀/2 սահմանները ինտեգրալի համար:
(3) հավասարումը ստացվում է (2) հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով e^(-jlω₀t)-ով և ինտեգրելով ժամանակային պարբերության վրա երկու կողմերը:

Սովորողական գումարումը և ինտեգրումը փոխարինելով հավասարումների երկու կողմերում, ստանում ենք



Երբ k≠l, (5) հավասարման աջ կողմը սահմաններում 0 է դառնում: Մյուս կողմից, եթե k=l, ունենք

Այսպիսով, (4) հավասարումը կրճատվում է հետևյալ կերպ



որը ցույց է տալիս x(t)-ի միջին արժեքը պարբերության վրա:
Երբ x(t) իրական է,

որտեղ * նշանակում է կոնյուգատ

Դիսկրետ ժամանակային տիրույթ

Դիսկրետ ժամանակային տիրույթում Ֆուրյեի ներկայացումը շատ նման է միանշանակ ժամանակային տիրույթում պարբերական սիգնալի Ֆուրյեի ներկայացմանը:
x[n] պարբերական հաջորդականության դիսկրետ Ֆուրյեի շարքի ներկայացումը հիմնական պարբերությամբ N₀ տրվում է հետևյալ բանաձևով
որտեղ, C_k, Ֆուրյեի գործակիցներն են և տրվում են հետևյալ բանաձևով

Սա նույն ձևով ստացվում է, ինչպես միանշանակ ժամանակային տիրույթում:

Պարբերական սիգնալի ամպլիտուդային և փուլային սպեկտրները

Մենք կարող ենք արտահայտել կոմպլեքս Ֆուրյեի գործակից C_k-ը հետևյալ կերպ