Analyse de la série de Fourier exponentielle
Vue d'ensemble de la série de Fourier
Un signal continu x(t) est dit périodique s'il existe une valeur positive non nulle T pour laquelle
Comme nous le savons, tout signal périodique peut être classé en sinusoides liés harmoniquement ou en exponentielles complexes, à condition qu'il satisfasse les Conditions de Dirichlet. Cette représentation décomposée est appelée SÉRIE DE FOURIER.
Il existe deux types de séries de Fourier. Les deux sont équivalents l'un à l'autre.
Série de Fourier exponentielle
Série de Fourier trigonométrique
Les deux représentations donnent le même résultat. En fonction du type de signal, nous choisissons l'une des représentations selon notre convenance.
Un signal périodique est analysé en termes de Série de Fourier exponentielle dans les trois étapes suivantes :
Représentation du signal périodique.
Spectres d'amplitude et de phase d'un signal périodique.
Puissance d'un signal périodique.
Représentation du signal périodique
Un signal périodique dans la série de Fourier peut être représenté dans deux domaines temporels différents :
Domaine temporel continu.
Domaine temporel discret.
Domaine temporel continu
La représentation complexe de la Série de Fourier exponentielle d'un signal périodique x(t) avec une période fondamentale To est donnée par
Où C est connu sous le nom de Coefficient de Fourier complexe et est donné par,
Où ∫0T0, désigne l'intégrale sur une période et, 0 à T0 ou –T0/2 à T0/2 sont les limites couramment utilisées pour l'intégration.
L'équation (3) peut être dérivée en multipliant les deux côtés de l'équation (2) par e(-jlω0t) et intégrer sur une période de temps des deux côtés.
En intervertissant l'ordre de la sommation et de l'intégration du côté droit, nous obtenons
Lorsque k≠l, le côté droit de (5) évalué aux limites inférieure et supérieure donne zéro. D'autre part, si k=l, nous avons
Par conséquent, l'équation (4) se réduit à
ce qui indique la valeur moyenne de x(t) sur une période.
Lorsque x (t) est réel,
Où, * indique le conjugué
Domaine temporel discret
La représentation de Fourier en discret est très similaire à la représentation de Fourier d'un signal périodique en domaine temporel continu.
La représentation en série de Fourier discrète d'une séquence périodique x[n] avec une période fondamentale No est donnée par
Où, Ck, sont les coefficients de Fourier et sont donnés par
Cela peut être dérivé de la même manière que nous l'avons fait en domaine temporel continu.
Spectres d'amplitude et de phase d'un signal périodique
Nous pouvons exprimer le Coefficient de Fourier complexe, Ck comme
Un tracé de |Ck| en fonction de la fréquence angulaire w est appelé le spectre d'amplitude du signal périodique x(t), et un tracé de Фk, en fonction de w est appelé le spectre de phase de x(t). Comme l'indice k ne prend que des entiers, les spectres d'amplitude et de phase ne sont pas des courbes continues mais apparaissent uniquement à des fréquences discrètes kω0, ils sont donc appelés des spectres de fréquence discrets ou des spectres en lignes.
Pour un signal périodique réel x (t), nous avons C-k = Ck
