Analiza eksponentne Fourierove vrste

Fourierova vrsta na prvi pogled

Neprekinjen časovni signal x(t) se imenuje periodičen, če obstaja pozitivna nenegativna vrednost T, za katero velja

Kot vemo, lahko vsak periodičen signal razdelimo na harmonično povezane sinusoidne ali kompleksne eksponentne, če izpolnjuje Dirichletove Pogoje. Ta razčlenjena predstavitev se imenuje FOURIEROVA VRSTA.
Obstajata dva tipa Fourierove Vrste. Oba sta enakovredna drugemu.

• Eksponentna Fourierova vrsta

• Trigonometrična Fourierova vrsta

Obe predstavitvi dajo isti rezultat. Glede na vrsto signala izberemo katero koli od predstavitev glede na naše potrebe.

Periodičen signal se analizira v smislu Eksponentne Fourierove Vrste v naslednjih treh fazah:

1. Predstavitev periodičnega signala.

2. Amplitudni in fazni spekter periodičnega signala.

3. Močni vsebini periodičnega signala.

Predstavitev periodičnega signala

Periodičen signal v Fourierovi vrsti se lahko predstavi v dveh različnih časovnih domenah:

1. Neprekinjena časovna domena.

2. Diskretna časovna domena.

Neprekinjena časovna domena

Kompleksna Eksponentna Fourierova Vrsta predstavitev periodičnega signala x(t) s temeljnimi periodom To je podana z

Kjer je C znano kot Kompleksni Fourierov Koeficient in je podan z,

Kjer ∫0T0, označuje integral skozi eno periodo in, 0 do T0 ali –T0/2 do T0/2 so običajni meji za integracijo.
Enačbo (3) lahko izpeljemo tako, da pomnožimo obeh strani enačbe (2) z e(-jlω0t) in integriramo skozi časovno periodo na obeh straneh.

Zamenjavo reda vsote in integracije na D.H.S., dobimo



Ko je k≠l, desna stran (5) ocenjena pri spodnji in zgornji meji da nič. Na drugi strani, če je k=l, imamo

Tako se enačba (4) zmanjša na



kar kaže povprečno vrednost x(t) skozi eno periodo.
Ko je x (t) realen,

Kjer * označuje konjugiran

Diskretna časovna domena

Fourierova predstavitev v diskretnem je zelo podobna Fourierovi predstavitvi periodičnega signala v neprekinjeni časovni domeni.
Diskretna Fourierova vrsta predstavitev periodičnega zaporedja x[n] s temeljno periodo No je podana z
Kjer so Ck, Fourierovi koeficienti in so podani z

To lahko izpeljemo na enak način, kot smo to storili v neprekinjeni časovni domeni.

Amplitudni in fazni spekter periodičnega signala

Kompleksni Fourierov koeficient, Ck, lahko izrazimo kot

Graf |Ck| glede na kotno frekvenco w se imenuje amplitudni spekter periodičnega signala x(t), in graf Фk, glede na w se imenuje fazni spekter x(t). Ker indeks k sprejme samo celoštevilčne vrednosti, nista amplitudni in fazni spekter nezvezni krivulji, ampak se pojavljata le na diskretnih frekvencah kω0, zato se nista navedla kot nezvezni frekvenčni spektri ali spektri črt.
Za realni periodičen signal x (t) velja C-k = C