Analiza eksponencijalnog Fourierovog reda

Fourierova serija na prvi pogled

Kontinuirani vremenski signal x(t) smatra se periodičnim ako postoji pozitivna nula vrijednost T za koju

Kao što znamo, svaki periodični signal može se klasificirati u harmonijski povezane sinusoidne ili kompleksne eksponencijalne, ako ispunjava Dirichletove uvjete. Ova dekomponirana reprezentacija naziva se FOURIER SERIJA.
Postoje dva tipa Fourierove serije reprezentacije. Obje su međusobno ekvivalentne.

• Eksponencijalna Fourierova serija

• Trigonometrijska Fourierova serija

Obje reprezentacije daju isti rezultat. Ovisno o vrsti signala, odabiremo bilo koju reprezentaciju prema našoj udobnosti.

Periodični signal analizira se u smislu eksponencijalne Fourierove serije u sljedećim tri fazi:

1. Reprezentacija periodičnog signala.

2. Amplitudni i fazni spektar periodičnog signala.

3. Snaga sadržaja periodičnog signala.

Reprezentacija periodičnog signala

Periodični signal u Fourierovoj seriji može se predstaviti u dvije različite vremenske domene:

1. Neprekinuta vremenska domena.

2. Diskretna vremenska domena.

Neprekinuta vremenska domena

Kompleksna eksponencijalna Fourierova serija reprezentacija periodičnog signala x(t) s fundamentalnim periodom To dana je sa

gdje, C poznato je kao kompleksni Fourierov koeficijent i dan je sa,

gdje ∫0T0, označava integral preko bilo kojeg jednog perioda, a 0 do T0 ili –T0/2 do T0/2 su granice često korištene za integraciju.
Jednadžba (3) može se izvesti množenjem obje strane jednadžbe (2) sa e(-jlω0t) i integriranjem preko vremenskog perioda obje strane.

Na zamjenom redoslijeda zbrajanja i integriranja na desnoj strani, dobivamo



Kada k≠l, desna strana (5) procijenjena na donjoj i gornjoj granici daje nulu. S druge strane, ako k=l, imamo

Stoga se jednadžba (4) reducira na



što ukazuje na prosječnu vrijednost x(t) tijekom perioda.
Kada x (t) je realan,

gdje, * označava konjugirano

Diskretna vremenska domena

Fourierova reprezentacija u diskretnom je vrlo slična Fourierovoj reprezentaciji periodičnog signala u neprekinutoj vremenskoj domeni.
Diskretna Fourierova serija reprezentacija periodičnog niza x[n] s fundamentalnim periodom No dana je sa
gdje, Ck, su Fourierovi koeficijenti i dati su sa

To se može izvesti na isti način kao što smo to učinili u neprekinutoj vremenskoj domeni.

Amplitudni i fazni spektar periodičnog signala

Možemo izraziti kompleksni Fourierov koeficijent, Ck kao

Grafikon |Ck| u odnosu na kutnu frekvenciju w naziva se amplitudni spektar periodičnog signala x(t), a grafikon Фk, u odnosu na w naziva se fazni spektar x(t). Budući da indeks k pretpostavlja samo cijele brojeve, amplitudni i fazni spektar nisu kontinuirani krive, već se pojavljuju samo na diskretnim frekvencama kω0, stoga se nazivaju diskretni frekvencijski spektar ili linijasti spektar.
Za realni periodični signal x (t) imamo C