Analyse av eksponensiell Fourier-rekke

Fourier-rekker i et øyeblikk

En kontinuerlig tidsignal x(t) sies å være periodisk hvis det finnes en positiv, ikke-null verdi av T for hvilken

Som vi vet, kan ethvert periodisk signal dekomponeres til harmonisk relaterte sinusider eller komplekse eksponentielle, så lenge det oppfyller Dirichlets betingelser. Denne dekomponerte representasjonen kalles FOURIER-REKKE.
Det finnes to typer Fourier-rekker representasjoner. Begge er ekvivalente med hverandre.

• Eksponentiell Fourier-rekke

• Trigonometrisk Fourier-rekke

Begge representasjoner gir samme resultat. Avhengig av typen signal, velger vi noen av representasjonene etter vår bekvemmelighet.

Et periodisk signal analyseres ved hjelp av eksponentiell Fourier-rekke i følgende tre trinn:

1. Representasjon av periodisk signal.

2. Amplitudens og fasens spektrum for et periodisk signal.

3. Effekthold av et periodisk signal.

Representasjon av periodisk signal

Et periodisk signal i Fourier-rekker kan representeres i to ulike tidsdomener:

1. Kontinuerlig tidsdomene.

2. Diskret tidsdomene.

Kontinuerlig tidsdomene

Den komplekse eksponentielle Fourier-rekke-representasjonen av et periodisk signal x(t) med grunnperiode To er gitt av

Hvor, C er kjent som den komplekse Fourier-koeffisienten og er gitt av,

Hvor ∫0T0, betyr integralet over en periode, og, 0 til T0 eller –T0/2 til T0/2 er grensene som vanligvis brukes for integrasjon.
Ligningen (3) kan utledes ved å multiplisere begge sider av ligning (2) med e(-jlω0t) og integrere over en tidsperiode på begge sider.

Ved å bytte rekkefølgen av summasjon og integrasjon på høyre side, får vi



Når, k≠l, blir høyresiden av (5) evaluert ved nedre og øvre grense null. På den andre siden, hvis k=l, har vi

Dermed reduseres ligning (4) til



som indikerer gjennomsnittsverdien av x(t) over en periode.
Når x (t) er reell,

Hvor, * indikerer konjugert

Diskret tidsdomene

Fourier-representasjonen i diskret er veldig lik Fourier-representasjonen av periodiske signaler i kontinuerlig tidsdomene.
Den diskrete Fourier-rekkerepresentasjonen av en periodisk sekvens x[n] med grunnperiode No er gitt av
Hvor, Ck, er Fourier-koeffisientene og er gitt av

Dette kan utledes på samme måte som vi utledet det i kontinuerlig tidsdomene.

Amplitude- og fase-spekter av et periodisk signal

Vi kan uttrykke den komplekse Fourier-koeffisienten, Ck som

En plot av |Ck| mot vinkelfrekvensen w kalles amplitudespekteret for det periodiske signalet x(t), og en plot av Фk, mot w kalles fasespekteret for x(t). Siden indeksen k bare antar heltall, er ikke amplitudespektret og fasespektret kontinuerlige kurver, men forekommer bare ved diskrete frekvenser kω0, de refereres derfor til som diskrete frekvensspekter eller linjespekter.
For et reelt periodisk signal x (t) har vi C-k = Ck