Análise da Série de Fourier Exponencial

Série de Fourier em Resumo

Um sinal de tempo contínuo x(t) é considerado periódico se existir um valor positivo e não nulo de T para o qual

Como sabemos, qualquer sinal periódico pode ser classificado em senoides relacionados harmônicos ou exponenciais complexas, desde que satisfaça as Condições de Dirichlet. Esta representação decomposta é chamada de SÉRIE DE FOURIER.
Existem dois tipos de Série de Fourier. Ambos são equivalentes entre si.

• Série de Fourier Exponencial

• Série de Fourier Trigonométrica

Ambas as representações dão o mesmo resultado. Dependendo do tipo de sinal, escolhemos qualquer uma das representações de acordo com nossa conveniência.

Um sinal periódico é analisado em termos de Série de Fourier Exponencial nas seguintes três etapas:

1. Representação do Sinal Periódico.

2. Espectros de Amplitude e Fase de um Sinal Periódico.

3. Conteúdo de Potência de um Sinal Periódico.

Representação do Sinal Periódico

Um sinal periódico na Série de Fourier pode ser representado em dois domínios de tempo diferentes:

1. Domínio de Tempo Contínuo.

2. Domínio de Tempo Discreto.

Domínio de Tempo Contínuo

A representação complexa da Série de Fourier Exponencial de um sinal periódico x(t) com período fundamental To é dada por

Onde, C é conhecido como o Coeficiente Complexo de Fourier e é dado por,

Onde ∫0T0, denota a integral sobre qualquer um dos períodos, e 0 a T0 ou –T0/2 a T0/2 são os limites comumente usados para a integração.
A equação (3) pode ser derivada multiplicando ambos os lados da equação (2) por e(-jlω0t) e integrar sobre um período de tempo em ambos os lados.

Ao inverter a ordem de soma e integração no lado direito, obtemos



Quando k≠l, o lado direito de (5) avaliado nos limites inferior e superior resulta em zero. Por outro lado, se k=l, temos

Consequentemente, a equação (4) reduz-se a



o que indica o valor médio de x(t) ao longo de um período.
Quando x (t) é real,

Onde, * indica conjugado

Domínio de Tempo Discreto

A representação de Fourier no discreto é muito semelhante à representação de Fourier de um sinal periódico no domínio de tempo contínuo.
A representação da série de Fourier discreta de uma sequência periódica x[n] com período fundamental No é dada por
Onde, Ck, são os coeficientes de Fourier e são dados por

Isso pode ser derivado da mesma maneira que foi derivado no domínio de tempo contínuo.

Espectros de Amplitude e Fase de um Sinal Periódico

Podemos expressar o Coeficiente Complexo de Fourier, Ck como

Um gráfico de |Ck| versus a frequência angular w é chamado de espectro de amplitude do sinal periódico x(t), e um gráfico de Фk, versus w é chamado de espectro de fase de x(t). Como o índice k assume apenas inteiros, os espectros de amplitude e fase não são curvas contínuas, mas aparecem apenas em frequências discretas kω0, eles são, portanto, referidos como espectros de frequência discretos ou espectros de linha.
Para um sinal periódico real x (t) temos C-k = Ck*. Assim,<