Анализа на експоненцијалниот Фуриеов ред

Серијата на Фурие на преглед

Непрекинатиот сигнал во временски домен x(t) се вели дека е периодичен ако постои позитивна ненулта вредност на T за која

Како што знаеме, секој периодичен сигнал може да се класифицира во хармонично поврзани синусоиди или комплексни експоненти, доколку ги исполнува условите на Дирихле. Оваа декомпонирана репрезентација се нарекува СЕРИЈА НА ФУРИЕ.
Постојат два типа серија на Фурие. Обата се еквивалентни една со друга.

• Експоненцијална серија на Фурие

• Тригонометриска серија на Фурие

Обата репрезентации даваат ист резултат. Во зависност од типот на сигнал, избираме било која од репрезентациите според нашата удобност.

Периодичниот сигнал се анализира во термини на Експоненцијална серија на Фурие во следните три фази:

1. Репрезентација на периодичен сигнал.

2. Амплитудна и фазна спектра на периодичен сигнал.

3. Содржина на моќ на периодичен сигнал.

Репрезентација на периодичен сигнал

Периодичниот сигнал во серијата на Фурие може да се репрезентира во два различни временски домени:

1. Континуиран временски домен.

2. Дискретен временски домен.

Континуиран временски домен

Комплексната Експоненцијална серија на Фурие репрезентација на периодичен сигнал x(t) со основен период To е дадена од

Каде, C е познат како Комплексен коефициент на Фурие и е даден од,

Каде ∫0T0, означува интеграл над еден период, и 0 до T0 или –T0/2 до T0/2 се границите обично користени за интеграција.
Јавувањето (3) може да се изведе множење на двете страни на јавувањето (2) со e(-jlω0t) и интеграција над временски период на двете страни.

Заменувајќи редоследот на сумација и интеграција на ДХС, добиваме



Кога, k≠l, десната страна на (5) евалуирана при долниот и горниот лимит дава нула. Од друга страна, ако k=l, имаме

Со тоа, јавувањето (4) се сврцува на



што указува на просечна вредност на x(t) за еден период.
Кога x (t) е реален,

Каде, * означува конјугирани

Дискретен временски домен

Фуриевата репрезентација во дискретен временски домен е многу слична на Фуриевата репрезентација на периодичен сигнал во континуиран временски домен.
Дискретната серија на Фурие репрезентација на периодична последователност x[n] со основен период No е дадена од
Каде, Ck, се Фуриевите коефициенти и се дадени од

Ова може да се изведе на исти начин како што го изведовме во континуиран временски домен.

Амплитудна и фазна спектра на периодичен сигнал

Можеме да изразиме комплексен коефициент на Фурие, Ck како

Графикот на |Ck| во зависност од аголната фреквенција w се нарекува амплитудна спектра на периодичниот сигнал x(t), а графикот на Фk, во зависност од w се нарекува фазна спектра на x(t). Бидејќи индексот k претставува само