การวิเคราะห์อนุกรมฟูริเยร์แบบเลขชี้กำลัง
การทบทวนอนุกรมฟูริเยร์อย่างรวดเร็ว
สัญญาณเวลาต่อเนื่อง x(t) จะถูกเรียกว่าเป็นวงจรป้อนกลับหากมีค่า T ที่เป็นบวกและไม่เท่ากับศูนย์
ตามที่เราทราบ สัญญาณที่เป็นวงจรป้อนกลับสามารถจำแนกได้เป็นไซนัสที่เกี่ยวข้องหรือเอ็กซ์โพเนนเชียลเชิงซ้อน ตราบใดที่มันปฏิบัติตามเงื่อนไขของดีริชเลต์ รูปแทนนี้เรียกว่า อนุกรมฟูริเยร์.
มีสองประเภทของ อนุกรมฟูริเยร์ ที่มีอยู่ ทั้งสองเท่ากัน.
อนุกรมฟูริเยร์แบบเลขชี้กำลัง
อนุกรมฟูริเยร์ตรีโกณมิติ
ทั้งสองรูปแทนให้ผลลัพธ์เดียวกัน ขึ้นอยู่กับประเภทของสัญญาณ เราเลือกรูปแทนใดก็ได้ตามความสะดวกของเรา.
สัญญาณที่เป็นวงจรป้อนกลับจะถูกวิเคราะห์ในแง่ของ อนุกรมฟูริเยร์แบบเลขชี้กำลัง ในสามขั้นตอนต่อไปนี้:
การแทนสัญญาณที่เป็นวงจรป้อนกลับ.
สเปกตรัมแอมพลิจูดและเฟสของสัญญาณที่เป็นวงจรป้อนกลับ.
พลังงานของสัญญาณที่เป็นวงจรป้อนกลับ.
การแทนสัญญาณที่เป็นวงจรป้อนกลับ
สัญญาณที่เป็นวงจรป้อนกลับในอนุกรมฟูริเยร์อาจแทนได้ในสองโดเมนเวลาที่แตกต่างกัน:
โดเมนเวลาต่อเนื่อง.
โดเมนเวลาไม่ต่อเนื่อง.
โดเมนเวลาต่อเนื่อง
การแทนอนุกรมฟูริเยร์แบบเลขชี้กำลังเชิงซ้อนของสัญญาณ x(t) ที่มีคาบฐาน To กำหนดโดย
เมื่อ C เป็นที่รู้จักในชื่อ สัมประสิทธิ์ฟูริเยร์เชิงซ้อน และกำหนดโดย,
เมื่อ ∫0T0, หมายถึงอินทิกรัลตลอดหนึ่งคาบ และ, 0 ถึง T0 หรือ –T0/2 ถึง T0/2 เป็นขอบเขตที่ใช้สำหรับการอินทิเกรต.
สมการ (3) สามารถสร้างได้โดยการคูณทั้งสองข้างของสมการ (2) ด้วย e(-jlω0t) และทำการอินทิเกรตตลอดระยะเวลาทั้งสองข้าง.
เมื่อสลับลำดับการรวมและการอินทิเกรตบน R.H.S., เราได้
เมื่อ k≠l, ฝั่งขวาของ (5) ที่ประเมินที่ขอบล่างและขอบบนจะให้ค่าเป็นศูนย์ ทางตรงกันข้าม ถ้า k=l, เราจะได้
ดังนั้น สมการ (4) ลดลงเหลือ
ซึ่งแสดงถึงค่าเฉลี่ยของ x(t) ตลอดคาบ.
เมื่อ x (t) เป็นจริง,
เมื่อ * หมายถึงคอนจูเกต
โดเมนเวลาไม่ต่อเนื่อง
การแทนฟูริเยร์ในโดเมนไม่ต่อเนื่องมีความคล้ายคลึงกับการแทนฟูริเยร์ของสัญญาณที่เป็นวงจรป้อนกลับในโดเมนเวลาต่อเนื่องมาก.
การแทนอนุกรมฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องของลำดับ x[n] ที่มีคาบฐาน No กำหนดโดย
เมื่อ, Ck, เป็นสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์และกำหนดโดย
สามารถสร้างได้ในวิธีเดียวกับที่เราสร้างในโดเมนเวลาต่อเนื่อง.
สเปกตรัมแอมพลิจูดและเฟสของสัญญาณที่เป็นวงจรป้อนกลับ
เราสามารถแสดงสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์เชิงซ้อน Ck ได้ว่า<
