Análisis de la Serie Exponencial de Fourier

Serie de Fourier a Simple Vista

Se dice que una señal de tiempo continuo x(t) es periódica si existe un valor positivo no nulo de T para el cual

Como sabemos, cualquier señal periódica puede clasificarse en senoides relacionados armónicamente o exponenciales complejas, siempre y cuando cumpla las Condiciones de Dirichlet. Esta representación descompuesta se llama SERIE DE FOURIER.
Existen dos tipos de Serie de Fourier. Ambas son equivalentes entre sí.

• Serie Exponencial de Fourier

• Serie Trigonométrica de Fourier

Ambas representaciones dan el mismo resultado. Dependiendo del tipo de señal, elegimos cualquier representación según nuestra conveniencia.

Una señal periódica se analiza en términos de Serie Exponencial de Fourier en las siguientes tres etapas:

1. Representación de la Señal Periódica.

2. Espectros de Amplitud y Fase de una Señal Periódica.

3. Contenido de Potencia de una Señal Periódica.

Representación de la Señal Periódica

Una señal periódica en la Serie de Fourier puede representarse en dos dominios de tiempo diferentes:

1. Dominio de Tiempo Continuo.

2. Dominio de Tiempo Discreto.

Dominio de Tiempo Continuo

La representación compleja de la Serie Exponencial de Fourier de una señal periódica x(t) con período fundamental To está dada por

Donde, C es conocido como el Coeficiente Complejo de Fourier y está dado por,

Donde ∫0T0, denota la integral sobre cualquier período y, 0 a T0 o –T0/2 a T0/2 son los límites comúnmente utilizados para la integración.
La ecuación (3) puede derivarse multiplicando ambos lados de la ecuación (2) por e(-jlω0t) e integrar sobre un período de tiempo en ambos lados.

Al intercambiar el orden de la suma y la integración en el lado derecho, obtenemos



Cuando, k≠l, el lado derecho de (5) evaluado en los límites inferior y superior da cero. Por otro lado, si k=l, tenemos

Por lo tanto, la ecuación (4) se reduce a



lo que indica el valor promedio de x(t) sobre un período.
Cuando x (t) es real,

Donde, * indica conjugado

Dominio de Tiempo Discreto

La representación de Fourier en discreto es muy similar a la representación de Fourier de una señal periódica en el dominio de tiempo continuo.
La representación de la serie de Fourier discreta de una secuencia periódica x[n] con período fundamental No está dada por
Donde, Ck, son los coeficientes de Fourier y están dados por

Esto se puede derivar de la misma manera que lo hicimos en el dominio de tiempo continuo.

Espectros de Amplitud y Fase de una Señal Periódica

Podemos expresar el Coeficiente Complejo de Fourier, Ck como

Un gráfico de |Ck| versus la frecuencia angular w se llama el espectro de amplitud de la señal periódica x(t), y un gráfico de Фk, versus w se llama el espectro de fase de x(t). Dado que el índice k asume solo enteros, los espectros de amplitud y fase no son curvas continuas, sino que aparecen solo en las frecuencias discretas kω0, por lo que se les refiere como espectros de frecuencia discreta o espectros de línea.
Para una señal periódica real x (t) tenemos C-k = Ck*. Así,