Analisis ng Exponential Fourier Series

Fourier Series sa isang Paghahawak

Ang isang signal na may patuloy na oras x(t) ay tinatawag na periodic kung may positibong hindi-zero na halaga ng T kung saan

Bilang karunungan, anumang periodic signal ay maaaring ikategorya sa harmonically related sinusoids o complex exponential, depende kung ito ay sumasang-ayon sa Dirichlet’s Conditions. Ang dekomposadong representasyon na ito ay tinatawag na FOURIER SERIES.
Dalawang uri ng Fourier Series representation ang mayroon. Pare-pareho ang dalawa sa bawat isa.

• Exponential Fourier Series

• Trigonometric Fourier Series

Magbibigay parehong resulta ang parehong representasyon. Batay sa uri ng signal, pinipili natin anumang representasyon ayon sa aming kagustuhan.

Isinasalaysay ang isang periodic signal sa termino ng Exponential Fourier Series sa mga sumusunod na tatlong yugto:

1. Pagpapakita ng Periodic Signal.

2. Amplitude at Phase Spectra ng Periodic Signal.

3. Power Content ng Periodic Signal.

Pagpapakita ng Periodic Signal

Maaaring ipakita ang isang periodic signal sa Fourier Series sa dalawang iba't ibang oras na dominyo:

1. Continuous Time Domain.

2. Discrete Time Domain.

Continuous Time Domain

Ang komplikado na Exponential Fourier Series representation ng isang periodic signal x(t) na may fundamental period To ay ibinibigay ng

Kung saan, C ay kilala bilang ang Complex Fourier Coefficient at ibinibigay ng,

Kung saan ∫0T0, nagpapahiwatig ng integral sa loob ng anumang isang panahon, at, 0 hanggang T0 o –T0/2 hanggang T0/2 ang mga limit na karaniwang ginagamit para sa integrasyon.
Ang equation (3) ay maaaring makalkula sa pamamagitan ng pagpaparami ng parehong bahagi ng equation (2) ng e(-jlω0t) at i-integrate sa loob ng isang panahon sa parehong bahagi.

Sa pagpalit ng pagkakasunud-sunod ng summation at integrasyon sa R.H.S., makukuha natin



Kapag, k≠l, ang right hand side ng (5) na inevaluate sa lower at upper limit ay nagbibigay ng zero. Sa kabilang banda, kung k=l, kami ay may

Dahil dito, ang equation (4) ay nababawasan sa



na nagpapahiwatig ng average value ng x(t) sa loob ng isang panahon.
Kapag x (t) ay real,

Kung saan, * nagpapahiwatig ng conjugate

Discrete Time Domain

Ang Fourier representation sa discrete ay malapit na katulad ng Fourier representation ng periodic signal sa continuous time domain.
Ang discrete Fourier series representation ng isang periodic sequence x[n] na may fundamental period No ay ibinibigay ng
Kung saan, Ck, ang mga Fourier coefficients at ibinibigay ng

Ito ay maaaring makalkula sa parehong paraan kung paano namin ito nakalkula sa continuous time domain.

Amplitude at Phase Spectra ng Periodic Signal

Maaari nating ipahayag ang Complex Fourier Coefficient, Ck bilang

Ang plot ng |Ck| laban sa angular frequency w ay tinatawag na amplitude spectrum ng periodic signal x(t), at ang plot ng Фk, laban sa w ay tinatawag na phase spectrum ng x(t). Dahil ang index k ay kumuha lamang ng integers, ang amplitude at phase spectra ay hindi continuous curves kundi lumilitaw lamang sa discrete frequencies kω0, kaya sila ay tinatawag na discrete frequency spectra o line spectra.
Sa isang tunay na periodic signal x (t) kami ay may C-k = Ck