ექსპონენციალური ფურიეს წარმოდგენის ანალიზი

ფურიეს წყვილი მოკლედ

თუ უწყვეტ დროის სიგნალი x(t) შეიძლება გახდეს პერიოდული, როდესაც არსებობს დადებითი არანულოვანი T-ის მნიშვნელობა, რომელიც აკმაყოფილებს პერიოდულობის პირობას

როგორც ვიცით, ნებისმიერი პერიოდული სიგნალი შეიძლება გადაიყვანოს ჰარმონიულად დაკავშირებულ სინუსოიდებზე ან კომპლექსურ ექსპონენტებზე, თუ ის აკმაყოფილებს დირიშლეს პირობებს. ეს დეკომპონირებული წარმოდგენა ეწოდება ფურიეს წყვილი.
ფურიეს წყვილის შესახებ არსებობს ორი ტიპის წარმოდგენა. და ისინი ერთმანეთის ტოლფასია.

• ექსპონენციალური ფურიეს წყვილი

• ტრიგონომეტრიული ფურიეს წყვილი

ორივე წარმოდგენა იძლევა იგივე შედეგს. სიგნალის ტიპის მიხედვით, ჩვენ ვარჩევთ ნებისმიერ წარმოდგენას ჩვენი ხელსაწყოების მიხედვით.

პერიოდული სიგნალი ანალიზируется შემდეგი სამი ეტაპით ექსპონენციალური ფურიეს წყვილის მიხედვით:

1. პერიოდული სიგნალის წარმოდგენა.

2. პერიოდული სიგნალის ამპლიტუდის და ფაზის სპექტრები.

3. პერიოდული სიგნალის ძალის შემცველი.

პერიოდული სიგნალის წარმოდგენა

ფურიეს წყვილში პერიოდული სიგნალი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორ სხვადასხვა დროს დომენში:

1. უწყვეტი დროის დომენი.

2. დისკრეტული დროის დომენი.

უწყვეტი დროის დომენი

კომპლექსური ექსპონენციალური ფურიეს წყვილის წარმოდგენა პერიოდული სიგნალის x(t) ფუნდამენტური პერიოდით To მოიცავს შემდეგ განტოლებას:

სადაც, C ცნობილია როგორც კომპლექსური ფურიეს კოეფიციენტი და განისაზღვრება შემდეგი განტოლებით:

სადაც ∫0T0, ნიშნავს ინტეგრალს ნებისმიერი ერთი პერიოდის შესაბამისად და 0 დან T0-მდე ან –T0/2 დან T0/2-მდე არის სამედარებელი ინტეგრალის ზღვრები.
განტოლება (3) შეიძლება გამოითვალოს გადაამრავლებით განტოლების ორივე მხარე e(-jlω0t)-ზე და ინტეგრალის გათვალისწინებით დროის პერიოდის შესაბამისად არის ამ ორი მხარი.

რით შეიძლება შეცვალოს ჯამის და ინტეგრალის თანმიმდევრობა R.H.S.-ზე, მივიღებთ



როდესაც k≠l, მარჯვენა მხარი (5) შეფასებული ქვედა და ზედა ზღვრებში იძლევა ნულს. სხვა მხრივ, თუ k=l, ჩვენ გვაქვს

შესაბამისად განტოლება (4) შეიძლება შეუძლია შეიცვალოს შემდეგი განტოლებით:



რაც აჩვენებს x(t)-ის საშუალო მნიშვნელობას პერიოდის განმავლობაში.
როდესაც x (t) ნამდვილია,

სადაც, * ნიშნავს კომპლექსურ კონიუგირებას

დისკრეტული დროის დომენი

დისკრეტული ფურიეს წარმოდგენა ძალიან მსგავსია უწყვეტი დროის დომენში პერიოდული სიგნალის ფურიეს წარმოდგენას.
დისკრეტული ფურიეს წყვილის წარმოდგენა პერიოდული სიგნალის x[n] ფუნდამენტური პერიოდით No მოიცავს შემდეგ განტოლებას:
სადაც, Ck, არის ფურიეს კოეფიციენტები და მიიღება შემდეგი განტოლებით: