Analiza eksponencijalnog Furijeovog reda

Furijeova serija na prvi pogled

Neprekidni vremenski signal x(t) smatra se periodičnim ako postoji pozitivna nenula vrednost T za koju važi

Kao što znamo, svaki periodični signal može biti klasifikovan u harmonično povezane sinusoidne ili kompleksne eksponencijalne, pod uslovom da ispunjava Dirichletove uslove. Ova dekomponovana reprezentacija naziva se FURIJE-OVA SERIJA.
Postoje dve vrste Furijeove serije. Obje su ekvivalentne međusobno.

• Eksponencijalna Furijeova serija

• Trigonometrijska Furijeova serija

Obje reprezentacije daju isti rezultat. Zavisno od tipa signala, biramo bilo koju od reprezentacija prema našoj udobnosti.

Periodični signal analizira se u terminima eksponencijalne Furijeove serije u sledećim tri fazi:

1. Reprezentacija periodičnog signala.

2. Amplitudski i fazni spektar periodičnog signala.

3. Snaga periodičnog signala.

Reprezentacija periodičnog signala

Periodični signal u Furijeovoj seriji može biti predstavljen u dve različite vremenske domene:

1. Neprekidna vremenska domena.

2. Diskretna vremenska domena.

Neprekidna vremenska domena

Kompleksna eksponencijalna Furijeova serija reprezentacija periodičnog signala x(t) sa fundamentalnim periodom To je data sa

Gdje, C je poznato kao kompleksni Furijeov koeficijent i dat je sa,

Gdje ∫0T0, označava integral nad jednim periodom, a 0 do T0 ili –T0/2 do T0/2 su granice obično korišćene za integraciju.
Jednačina (3) može se izvesti množenjem obe strane jednačine (2) sa e(-jlω0t) i integrisanjem preko vremenskog perioda na obe strane.

Na menjajući redosled sumiranja i integracije na desnoj strani, dobijamo



Kada je k≠l, desna strana (5) procenjena na donjoj i gornjoj granici daje nulu. S druge strane, ako je k=l, imamo

Zato jednačina (4) redukuje na



što ukazuje na srednju vrednost x(t) tokom perioda.
Kada je x (t) realan,

Gdje, * označava konjugat

Diskretna vremenska domena

Furijeova reprezentacija u diskretnom je veoma slična Furijeovoj reprezentaciji periodičnog signala u neprekidnoj vremenskoj domeni.
Diskretna Furijeova serija reprezentacija periodične sekvence x[n] sa fundamentalnim periodom No je data sa
Gdje, Ck, su Furijeovi koeficijenti i dati su sa

Ovo se može izvesti na isti način kao što smo to uradili u neprekidnoj vremenskoj domeni.

Amplitudski i fazni spektar periodičnog signala

Možemo izraziti kompleksni Furijeov koeficijent, Ck kao

Crtež |Ck| u zavisnosti od uglog frekvencije w naziva se amplitudski spektar periodičnog signala x(t), a crtež Фk, u zavisnosti od w naziva se fazni spektar x(t). Budući da indeks k preuzima samo cele brojeve, amplitudski i fazni spektar nisu kontinuirani krive, već se pojavljuju samo na diskretnim frekvencijama kω0, stoga se nazivaju diskretni frekvencijski spektri ili spektri linija.
Za realni periodični signal x (t) imamo C