Analiza eksponencijalnog Furijeovog reda
Furijeova serija na prvi pogled
Neprekidni vremenski signal x(t) smatra se periodičnim ako postoji pozitivna nenula vrednost T za koju važi
Kao što znamo, svaki periodični signal može biti klasifikovan u harmonično povezane sinusoidne ili kompleksne eksponencijalne, pod uslovom da ispunjava Dirichletove uslove. Ova dekomponovana reprezentacija naziva se FURIJE-OVA SERIJA.
Postoje dve vrste Furijeove serije. Obje su ekvivalentne međusobno.
Eksponencijalna Furijeova serija
Trigonometrijska Furijeova serija
Obje reprezentacije daju isti rezultat. Zavisno od tipa signala, biramo bilo koju od reprezentacija prema našoj udobnosti.
Periodični signal analizira se u terminima eksponencijalne Furijeove serije u sledećim tri fazi:
Reprezentacija periodičnog signala.
Amplitudski i fazni spektar periodičnog signala.
Snaga periodičnog signala.
Reprezentacija periodičnog signala
Periodični signal u Furijeovoj seriji može biti predstavljen u dve različite vremenske domene:
Neprekidna vremenska domena.
Diskretna vremenska domena.
Neprekidna vremenska domena
Kompleksna eksponencijalna Furijeova serija reprezentacija periodičnog signala x(t) sa fundamentalnim periodom To je data sa
Gdje, C je poznato kao kompleksni Furijeov koeficijent i dat je sa,
Gdje ∫0T0, označava integral nad jednim periodom, a 0 do T0 ili –T0/2 do T0/2 su granice obično korišćene za integraciju.
Jednačina (3) može se izvesti množenjem obe strane jednačine (2) sa e(-jlω0t) i integrisanjem preko vremenskog perioda na obe strane.
Na menjajući redosled sumiranja i integracije na desnoj strani, dobijamo
Kada je k≠l, desna strana (5) procenjena na donjoj i gornjoj granici daje nulu. S druge strane, ako je k=l, imamo
Zato jednačina (4) redukuje na
što ukazuje na srednju vrednost x(t) tokom perioda.
Kada je x (t) realan,
Gdje, * označava konjugat
Diskretna vremenska domena
Furijeova reprezentacija u diskretnom je veoma slična Furijeovoj reprezentaciji periodičnog signala u neprekidnoj vremenskoj domeni.
Diskretna Furijeova serija reprezentacija periodične sekvence x[n] sa fundamentalnim periodom No je data sa
Gdje, Ck, su Furijeovi koeficijenti i dati su sa
Ovo se može izvesti na isti način kao što smo to uradili u neprekidnoj vremenskoj domeni.
Amplitudski i fazni spektar periodičnog signala
Možemo izraziti kompleksni Furijeov koeficijent, Ck kao
Crtež |Ck| u zavisnosti od uglog frekvencije w naziva se amplitudski spektar periodičnog signala x(t), a crtež Фk, u zavisnosti od w naziva se fazni spektar x(t). Budući da indeks k preuzima samo cele brojeve, amplitudski i fazni spektar nisu kontinuirani krive, već se pojavljuju samo na diskretnim frekvencijama kω0, stoga se nazivaju diskretni frekvencijski spektri ili spektri linija.
Za realni periodični signal x (t) imamo C
