تحليل سلسلة فورييه الأسية
نظرة عامة على سلسلة فورييه
يُقال إن الإشارة الزمنية المستمرة x(t) دورية إذا كان هناك قيمة موجبة غير صفرية لـ T والتي تحقق
كما نعلم، يمكن تصنيف أي إشارة دورية إلى جيبات ذات علاقة تناغمية أو أسية معقدة، شريطة أن تفي بشروط ديريشليت. يتم تسمية هذه التمثيل المفكك بـ سلسلة فورييه.
هناك نوعان من سلسلة فورييه. وكلاهما متكافئ لبعضهما البعض.
سلسلة فورييه الأسية
سلسلة فورييه المثلثية
يعطي كلا التمثيلين نفس النتيجة. اعتمادًا على نوع الإشارة، نختار أي من التمثيلات حسب رغبتنا.
يتم تحليل الإشارة الدورية بدلالة سلسلة فورييه الأسية في ثلاث مراحل:
تمثيل الإشارة الدورية.
طيف السعة والطور للإشارة الدورية.
محتوى الطاقة للإشارة الدورية.
تمثيل الإشارة الدورية
يمكن تمثيل الإشارة الدورية في سلسلة فورييه في مجالين زمنيين مختلفين:
المجال الزمني المستمر.
المجال الزمني المتقطع.
المجال الزمني المستمر
التمثيل المعقد لـ سلسلة فورييه الأسية للإشارة الدورية x(t) ذات الفترة الأساسية To يعطى بالعلاقة
حيث، C هو المعروف باسم معامل فورييه المعقد ويعطى بالعلاقة،
حيث ∫0T0، يشير إلى التكامل على فترة واحدة، وحدود 0 إلى T0 أو –T0/2 إلى T0/2 هي الحدود الشائعة المستخدمة للتكامل.
يمكن استنتاج المعادلة (3) بضرب طرفي المعادلة (2) في e(-jlω0t) ومن ثم القيام بالتكامل على فترة زمنية لكلا الطرفين.
بتبديل ترتيب الجمع والتكامل على الجانب الأيمن، نحصل على
عندما k≠l، فإن الجانب الأيمن من (5) عند تقييمه عند الحدود الدنيا والعليا يعطي الصفر. من ناحية أخرى، إذا كان k=l، لدينا
وبالتالي تقلص المعادلة (4) إلى
وهو ما يشير إلى القيمة المتوسطة لـ x(t) خلال فترة.
عندما تكون x (t) حقيقية،
حيث، * يشير إلى المرافق
المجال الزمني المتقطع
تمثيل فورييه في المجال المتقطع مشابه جداً لتمثيل فورييه للإشارة الدورية في المجال الزمني المستمر.
يُعطى تمثيل السلسلة الدورية لسلسلة دورية x[n] ذات الفترة الأساسية No بالعلاقة
حيث، Ck، هي معاملات فورييه وتُعطى بالعلاقة
يمكن استنتاج هذا بنفس الطريقة التي استنتجناها في المجال الزمني المستمر.
طيف السعة والطور للإشارة الدورية
يمكن التعبير عن معامل فورييه المعقد Ck ك
رسم بياني لـ |Ck| مقابل التردد الزاوي w يسمى طيف السعة للإشارة الدورية x(t)، ورسم بياني لـ Фk مقابل w يسمى طيف الطور لـ x(t). بما أن المؤشر k يأخذ فقط قيمًا صحيحة، فإن طيف السعة والطور ليسا منحنيات مستمرة ولكن يظهران فقط عند الترددات المنفصلة kω0، وبالتالي يشار إليهما كأطياف ترددية منفصلة أو أطياف خطية.
بالنسبة للإشارة الدورية الحقيقية x (t) لدينا C-k = Ck
