Analisi della Serie di Fourier Esponenziale

Serie di Fourier in breve

Un segnale a tempo continuo x(t) si dice periodico se esiste un valore positivo e non nullo di T per cui

Come sappiamo, qualsiasi segnale periodico può essere classificato in senoidi armonicamente correlate o esponenziali complesse, a condizione che soddisfi le Condizioni di Dirichlet. Questa rappresentazione decomposta è chiamata SERIE DI FOURIER.
Esistono due tipi di Serie di Fourier. Entrambi sono equivalenti tra loro.

• Serie di Fourier Esponenziale

• Serie di Fourier Trigonometrica

Entrambe le rappresentazioni danno lo stesso risultato. A seconda del tipo di segnale, scegliamo una delle rappresentazioni in base alla nostra convenienza.

Un segnale periodico viene analizzato in termini di Serie di Fourier Esponenziale nelle seguenti tre fasi:

1. Rappresentazione del Segnale Periodico.

2. Spettri di Ampiezza e Fase di un Segnale Periodico.

3. Contenuto di Potenza di un Segnale Periodico.

Rappresentazione del Segnale Periodico

Un segnale periodico nella Serie di Fourier può essere rappresentato in due diversi domini temporali:

1. Dominio del Tempo Continuo.

2. Dominio del Tempo Discreto.

Dominio del Tempo Continuo

La rappresentazione complessa della Serie di Fourier Esponenziale di un segnale periodico x(t) con periodo fondamentale To è data da

Dove, C è noto come il Coefficiente Complesso di Fourier ed è dato da,

Dove ∫0T0, denota l'integrale su un periodo e, 0 a T0 o –T0/2 a T0/2 sono i limiti comunemente utilizzati per l'integrazione.
L'equazione (3) può essere derivata moltiplicando entrambi i lati dell'equazione (2) per e(-jlω0t) e integrare su un periodo di tempo entrambi i lati.

Scambiando l'ordine di sommatoria e integrazione sul lato destro, otteniamo



Quando k≠l, il lato destro di (5) valutato ai limiti inferiore e superiore fornisce zero. D'altra parte, se k=l, abbiamo

Conseguentemente l'equazione (4) si riduce a



il che indica il valore medio di x(t) su un periodo.
Quando x (t) è reale,

Dove, * indica coniugato

Dominio del Tempo Discreto

La rappresentazione di Fourier nel discreto è molto simile alla rappresentazione di Fourier di un segnale periodico nel dominio del tempo continuo.
La rappresentazione della serie di Fourier discreta di una sequenza periodica x[n] con periodo fondamentale No è data da
Dove, Ck, sono i coefficienti di Fourier e sono dati da

Questo può essere derivato allo stesso modo in cui l'abbiamo derivato nel dominio del tempo continuo.

Spettri di ampiezza e fase di un segnale periodico

Possiamo esprimere il Coefficiente Complesso di Fourier, Ck come

Un grafico di |Ck| rispetto alla frequenza angolare w è chiamato spettro di ampiezza del segnale periodico x(t), e un grafico di Фk, rispetto a w è chiamato spettro di fase di x(t). Poiché l'indice k assume solo interi, gli spettri di ampiezza e fase non sono curve continue ma appaiono solo alle frequenze discrete kω0, quindi sono detti spettri di frequenza discreti o spettri a linea.
Per un segnale periodico reale x (t) abbiamo C-k = Ck