Анализ на експоненциалния ред на Фурие

Редицата на Фурие в кратко

Непрекъснатият сигнал x(t) се счита за периодичен, ако има положителна ненулева стойност T, за която

Както знаем, всеки периодичен сигнал може да бъде класифициран като хармонично свързани синусоиди или комплексни експоненти, при условие, че удовлетворява условията на Дирихле. Това декомпозирано представяне се нарича РЕДИЦА НА ФУРИЕ.
Има два типа редици на Фурие. Двете са еквивалентни помежду си.

• Експоненциална редица на Фурие

• Тригонометрична редица на Фурие

Двете представяния дават един и същ резултат. В зависимост от типа на сигнала, избираме едно от представянията според нашето удобство.

Периодичният сигнал се анализира в термините на Експоненциална редица на Фурие в следните три етапа:

1. Представяне на периодичен сигнал.

2. Амплитуден и фазов спектър на периодичен сигнал.

3. Мощността на периодичен сигнал.

Представяне на периодичен сигнал

Периодичният сигнал в редицата на Фурие може да бъде представен в две различни времеви области:

1. Непрекъсната времева област.

2. Дискретна времева област.

Непрекъсната времева област

Комплексното Експоненциална редица на Фурие представяне на периодичен сигнал x(t) с основен период To е дадено от

Където, C е известен като Комплексен коефициент на Фурие и е даден от,

Където ∫0T0, означава интеграла през един период, и, 0 до T0 или –T0/2 до T0/2 са обикновените граници, използвани за интеграция.
Уравнението (3) може да бъде изведено, умножавайки двете страни на уравнение (2) по e(-jlω0t) и интегрирайки през един период от двете страни.

При размяна на реда на сумиране и интегриране от дясната страна, получаваме



Когато, k≠l, дясната страна на (5), изчислена при долната и горната граница, дава нула. От друга страна, ако k=l, имаме

Следователно уравнение (4) се свежда до



което показва средната стойност на x(t) през един период.
Когато x (t) е реално,

Където, * означава конюгация

Дискретна времева област

Фуриевото представяне в дискретна форма е много подобно на Фуриевото представяне на периодичен сигнал в непрекъсната времева област.
Дискретното представяне на Фурие на периодична последователност x[n] с основен период No е дадено от
Където, Ck, са коефициентите на Фурие и са дадени от

Това може да бъде изведено по същия начин, както го направихме в непрекъснатата времева област.

Амплитуден и фазов спектър на периодичен сигнал

Можем да изразим комплексния коефициент на Фурие, Ck като

Графика на |Ck| спрямо ъгловата честота w се нарича амплитуден спектър на периодичния сигнал x(t), а графика на Фk, спрямо w се нарича фазов спектър на x(t). Тъй като индексът k приема само цели числа, амплитудният и фазовият спектър не са непрекъснати криви, а се появяват само на дискрет