Analýza exponenciálního Fourierova řady

Fourierova řada na první pohled

Spojitý časový signál x(t) se nazývá periodický, pokud existuje kladná nenulová hodnota T, pro kterou platí

Jak víme, jakýkoli periodický signál lze rozdělit na harmonicky související sinusoidy nebo komplexní exponenciály, pokud splňuje Dirichletovy podmínky. Toto rozložené zobrazení se nazývá FOURIEROVA ŘADA.
Existují dva typy Fourierovy řady. Oba jsou ekvivalentní.

• Exponenciální Fourierova řada

• Trigonometrická Fourierova řada

Oba způsoby reprezentace dávají stejný výsledek. V závislosti na typu signálu vybereme jeden ze způsobů reprezentace podle našeho uznání.

Periodický signál je analyzován v termínech exponenciální Fourierovy řady v následujících třech fázích:

1. Reprezentace periodického signálu.

2. Amplitudové a fázové spektrum periodického signálu.

3. Výkonový obsah periodického signálu.

Reprezentace periodického signálu

Periodický signál v Fourierově řadě může být reprezentován v dvou různých časových doménách:

1. Spojitá časová doména.

2. Diskrétní časová doména.

Spojitá časová doména

Komplexní exponenciální Fourierova řada reprezentace periodického signálu x(t) s fundamentálním obdobím To je dána vztahem

Kde C je známý jako komplexní Fourierův koeficient a je dán vztahem,

Kde ∫0T0, označuje integrál přes jedno období a, 0 do T0 nebo –T0/2 do T0/2 jsou často používané meze pro integraci.
Vzorec (3) lze odvodit tak, že obě strany rovnice (2) vynásobíme e(-jlω0t) a integrujeme po časovém období na obou stranách.

Pokud zaměníme pořadí sumace a integrace na R.H.S., dostaneme



Pokud k≠l, pravá strana (5) vyhodnocená v dolní a horní hranici dává nulu. Na druhou stranu, pokud k=l, máme

Následně rovnice (4) redukuje na



což indikuje průměrnou hodnotu x(t) za období.
Pokud x (t) je reálné,

Kde * označuje konjugát

Diskrétní časová doména

Fourierova reprezentace v diskrétní formě je velmi podobná Fourierově reprezentaci periodického signálu v spojité časové doméně.
Dis