Analise van Eksponensiële Fourier-reeks

Fourier-reeks in 'n oogopslag

'n Kontinue tydsignaal x(t) word as periodies beskou as daar 'n positiewe nie-nulwaarde van T is vir watter

Soos ons weet, kan enige periodiese sein geklassifiseer word in harmonies verband staande sinusoidale of komplekse eksponentiale, verskaf dit voldoen aan die Dirichlet-se Voorwaardes. Hierdie ontleedde voorstelling word FOURIER-REEKS genoem.
Twee tipe Fourier-reeks voorstelling is daar. Albei is ekwivalent aan mekaar.

• Eksponensiële Fourier-reeks

• Trigonometriese Fourier-reeks

Beide voorstellings gee dieselfde resultaat. Afhangende van die tipe sein, kies ons enige van die voorstellings volgens ons gerief.

'n Periodiese sein word in terme van Eksponensiële Fourier-reeks in die volgende drie stadiums geanaliseer:

1. Voorstelling van 'n periodiese sein.

2. Amplitude- en fase-spektra van 'n periodiese sein.

3. Kraginhoud van 'n periodiese sein.

Voorstelling van 'n periodiese sein

'n Periodiese sein in Fourier-reeks kan in twee verskillende tydome representeer word:

1. Kontinue tydgebied.

2. Diskrete tydgebied.

Kontinue tydgebied

Die komplekse Eksponensiële Fourier-reeks voorstelling van 'n periodiese sein x(t) met fundamentele periode To word gegee deur

Waar, C bekend staan as die Komplekse Fourier-koeffisiënt en word gegee deur,

Waar ∫0T0, dui op die integraal oor enige een periode, en, 0 tot T0 of –T0/2 tot T0/2 is die grense wat algemeen gebruik word vir die integrasie.
Die vergelyking (3) kan afgelei word deur beide kante van vergelyking (2) te vermenigvuldig met e(-jlω0t) en integreer oor 'n tydperiode beide kante.

Deur die volgorde van sommasie en integrasie op R.H.S. te verwissel, kry ons



Wanneer, k≠l, word die regterkant van (5) by die onderste en boegrens nul. Anderkant, as k=l, het ons

Gevolglik vermindert vergelyking (4) na



wat die gemiddelde waarde van x(t) oor 'n periode aandui.
Wanneer x (t) werklik is,

Waar, * dui op konjugate

Diskrete tydgebied

Fourier-voorstellings in diskreet is baie soortgelyk aan Fourier-voorstellings van periodiese seine in kontinue tydgebied.
Die diskrete Fourier-reeks voorstelling van 'n periodiese ry x[n] met fundamentele periode No word gegee deur
Waar, Ck, die Fourier-koeffisiënte is en word gegee deur

Dit kan op dieselfde manier afgelei word as in kontinue tydgebied.

Amplitude- en fase-spektra van 'n periodiese sein

Ons kan die Komplekse Fourier-koeffisiënt, Ck uitdruk as

'n Grafiek van |Ck| teen die hoekfrequentie w word die amplitude-spektrum van die periodiese sein x(t) genoem, en 'n grafiek van Фk, teen w word die fase-spektrum van x(t) genoem. Omdat die indeks k slegs heelgetalle aanneem, is die amplitude- en fase-spektra nie kontinue kurwes nie, maar verskyn slegs by diskrete frekwensies kω0, hulle word daarom diskrete frekwensiespektra of lynspektra genoem.
Vir 'n werklike periodiese sein x (t) het ons C-k = C