Analise van Eksponensiële Fourier-reeks
Fourier-reeks in 'n oogopslag
'n Kontinue tydsignaal x(t) word as periodies beskou as daar 'n positiewe nie-nulwaarde van T is vir watter
Soos ons weet, kan enige periodiese sein geklassifiseer word in harmonies verband staande sinusoidale of komplekse eksponentiale, verskaf dit voldoen aan die Dirichlet-se Voorwaardes. Hierdie ontleedde voorstelling word FOURIER-REEKS genoem.
Twee tipe Fourier-reeks voorstelling is daar. Albei is ekwivalent aan mekaar.
Eksponensiële Fourier-reeks
Trigonometriese Fourier-reeks
Beide voorstellings gee dieselfde resultaat. Afhangende van die tipe sein, kies ons enige van die voorstellings volgens ons gerief.
'n Periodiese sein word in terme van Eksponensiële Fourier-reeks in die volgende drie stadiums geanaliseer:
Voorstelling van 'n periodiese sein.
Amplitude- en fase-spektra van 'n periodiese sein.
Kraginhoud van 'n periodiese sein.
Voorstelling van 'n periodiese sein
'n Periodiese sein in Fourier-reeks kan in twee verskillende tydome representeer word:
Kontinue tydgebied.
Diskrete tydgebied.
Kontinue tydgebied
Die komplekse Eksponensiële Fourier-reeks voorstelling van 'n periodiese sein x(t) met fundamentele periode To word gegee deur
Waar, C bekend staan as die Komplekse Fourier-koeffisiënt en word gegee deur,
Waar ∫0T0, dui op die integraal oor enige een periode, en, 0 tot T0 of –T0/2 tot T0/2 is die grense wat algemeen gebruik word vir die integrasie.
Die vergelyking (3) kan afgelei word deur beide kante van vergelyking (2) te vermenigvuldig met e(-jlω0t) en integreer oor 'n tydperiode beide kante.
Deur die volgorde van sommasie en integrasie op R.H.S. te verwissel, kry ons
Wanneer, k≠l, word die regterkant van (5) by die onderste en boegrens nul. Anderkant, as k=l, het ons
Gevolglik vermindert vergelyking (4) na
wat die gemiddelde waarde van x(t) oor 'n periode aandui.
Wanneer x (t) werklik is,
Waar, * dui op konjugate
Diskrete tydgebied
Fourier-voorstellings in diskreet is baie soortgelyk aan Fourier-voorstellings van periodiese seine in kontinue tydgebied.
Die diskrete Fourier-reeks voorstelling van 'n periodiese ry x[n] met fundamentele periode No word gegee deur
Waar, Ck, die Fourier-koeffisiënte is en word gegee deur
Dit kan op dieselfde manier afgelei word as in kontinue tydgebied.
Amplitude- en fase-spektra van 'n periodiese sein
Ons kan die Komplekse Fourier-koeffisiënt, Ck uitdruk as
'n Grafiek van |Ck| teen die hoekfrequentie w word die amplitude-spektrum van die periodiese sein x(t) genoem, en 'n grafiek van Фk, teen w word die fase-spektrum van x(t) genoem. Omdat die indeks k slegs heelgetalle aanneem, is die amplitude- en fase-spektra nie kontinue kurwes nie, maar verskyn slegs by diskrete frekwensies kω0, hulle word daarom diskrete frekwensiespektra of lynspektra genoem.
Vir 'n werklike periodiese sein x (t) het ons C-k = C
Aanbevole
