Eksponentiaalisen Fourier-sarjan analyysi

Fourier-sarja yleisesti

Jatkuva-aikainen signaali x(t) on jaksollinen, jos on olemassa positiivinen nollasta eroava T-arvo, jolle

Kuten tiedämme, mikä tahansa jaksollinen signaali voidaan luokitella harmonisesti liittyviksi sini- ja kosinifunktioihin tai kompleksiseksi eksponenttisarjaksi, jos se täyttää Dirichletin ehdot. Tämä hajottunut esitys kutsutaan FOURIER-SARJAKSI.
On olemassa kaksi tyyppistä Fourier-sarjan esitystä. Molemmat ovat keskenään yhtäpitäviä.

• Eksponentiaalinen Fourier-sarja

• Trigonometrinen Fourier-sarja

Molemmat esitykset antavat saman tuloksen. Signaalityypin mukaan valitsemme joko toisen tai toisen esityksen mukaamme.

Jaksollista signaalia analysoidaan eksponentiaalisena Fourier-sarjana seuraavissa kolmessa vaiheessa:

1. Jaksollisen signaalin esitys.

2. Jaksollisen signaalin amplitudispektri ja vaihespektri.

3. Jaksollisen signaalin teho.

Jaksollisen signaalin esitys

Jaksollinen signaali Fourier-sarjassa voi olla edustettuna kahdella eri tavalla aikatasossa:

1. Jatkuva-aikainen taso.

2. Diskreetti-aikainen taso.

Jatkuva-aikainen taso

Kompleksinen eksponentiaalinen Fourier-sarja -esitys jaksolliselle signaalille x(t) perusjakson To on annettu

Missä, C on tunnettu kompleksinen Fourier-kertoimena ja on annettu,

Missä ∫0T0, tarkoittaa integraalia yli yhden jakson ja, 0–T0/2 –T0/2 ovat yleisesti käytettyjä integrointirajoja.
Yhtälö (3) voidaan johtaa kertomalla yhtälön (2) molemmat puolet e(-jlω0t):llä ja integroimalla yli aikajakson molemmin puolin.

Summauksen ja integroinnin järjestyksen vaihtamalla R.H.S.:ssa saadaan



Kun, k≠l, oikean puolen arvo alueen alareunassa ja yläreunassa on nolla. Toisaalta, jos k=l, meillä on

Tällöin yhtälö (4) sievenee muotoon



mikä ilmaisee x(t):n keskiarvon yli jakson.
Kun x (t) on reaalinen,

Missä, * tarkoittaa liittolukua

Diskreetti-aikainen taso

Fourier-esitys diskreetissä on hyvin samankaltainen kuin Fourier-esitys jaksolliselle signaalille jatkuvassa aika-alueessa.
Diskreetin Fourier-sarjan esitys jaksoliselle jonolle x[n] perusjakson No on annettu
Missä, Ck, ovat Fourier-kertoimet ja ne on annettu

Tämä voidaan johtaa samalla tavalla kuin jatkuvassa aika-alueessa.

Jaksollisen signaalin amplitudispektri ja vaihespektri

Voimme ilmaista kompleksisen Fourier-kertoimen Ck seuraavasti

|Ck| vs kulmakulman w piirros kutsutaan jaksollisen signaalin x(t) amplitudispektriksi, ja Фk vs w piirros kutsutaan vaihespektriksi x(t):lle. Koska indeksi k ottaa vain kokonaislukuja, amplitudispektri ja vaihespektri eivät ole jatkuvia käyriä, vaan ne ilmestyvät vain diskreeteissä taajuussuureissa kω0, niitä kutsutaan siksi diskreetteihin taajuusspektriin tai viivaspektriin.
Reaaliselle jaksoliselle signaalille x (t) meillä on C-k = C