Analizo de Eksponenta Fourier-a Serio

Fourier-a Serio en Bildo

Ĉiu kontinua tempa signalo x(t) estas perioda, se ekzistas pozitiva nenula valoro de T por kiu

Kiel ni scias, ĉiu perioda signalo povas esti klasifikita en harmonie rilataj sinusoj aŭ kompleksaj eksponentoj, se ĝi kontentigas la Dirichletajn Kondiĉojn. Ĉi tiu malkomponaĵo estas nomata FOURIER-A SERIO.
Dua tipo de Fourier-a Serio reprezentado estas. Ambaŭ estas ekvivalentaj al unu la alian.

• Eksponenta Fourier-a Serio

• Trigonometria Fourier-a Serio

Ambaŭ reprezentadoj donas la saman rezulton. Laŭ la specifo de la signalo, ni elektas iun el la reprezentadoj laŭ nia konveno.

Perioda signalo estas analizata per Eksponenta Fourier-a Serio en la jenaj tri stadioj:

1. Reprezentado de Perioda Signalo.

2. Amplituda kaj Faza Spektro de Perioda Signalo.

3. Pova Enhavo de Perioda Signalo.

Reprezentado de Perioda Signalo

Perioda signalo en Fourier-a Serio povas esti reprezentata en du malsamaj tempdomajnoj:

1. Kontinua Tempdomajno.

2. Diskreta Tempdomajno.

Kontinua Tempdomajno

La kompleksa Eksponenta Fourier-a Serio reprezentado de perioda signalo x(t) kun fundamenta periodo To estas donita per

Kie, C estas konata kiel la Kompleksa Fourier-a Koeficiento kaj estas donita per,

Kie ∫0T0, signifas la integralon super ajna unu periodo, kaj, 0 al T0 aŭ –T0/2 al T0/2 estas la limoj komune uzitaj por la integralado.
La ekvacio (3) povas esti derivita per multipliko de ambaŭ flankoj de ekvacio (2) per e(-jlω0t) kaj integri super tempperiodo ambaŭ flankoj.

Interŝanĝante la ordon de sumigo kaj integralado en R.H.S., ni ricevas



Kiam, k≠l, la dekstra flanko de (5) prizorgis je la suba kaj supra limo produktas nulon. Aliflanke, se k=l, ni havas

Konsekvence ekvacio (4) reduktas al



kiu indikas mezvaloron de x(t) super periodo.
Kiam x (t) estas reela,

Kie, * indikas konjugiton

Diskreta Tempdomajno

Fourier-reprezentado en diskreta estas tre simila al Fourier-reprezentado de perioda signalo en kontinua tempdomajno.
La diskreta Fourier-a serio reprezentado de perioda vico x[n] kun fundamenta periodo No estas donita per
Kie, Ck, estas la Fourier-aj koeficientoj kaj estas donitaj per

Ĉi tio povas esti derivita en la sama maniero kiel ni derivis ĝin en kontinua tempdomajno.

Amplituda kaj Faza Spektro de Perioda Signalo

Ni povas esprimi Kompleksan Fourier-an Koeficienton, Ck kiel

Grafikaĵo de |Ck| kontraŭ la angula frekvenco w estas nomata amplituda spektro de la perioda signalo x(t), kaj grafikaĵo de Фk, kontraŭ w estas nomata fazspektro de x(t). Ĉar la indekso k supozas nur entjerojn, la amplituda kaj fazspektroj ne estas kontinuaj kurboj sed aperas nur je diskretaj frekvencoj kω0, ili do estas referitaj kiel diskretaj frekvencspektroj aŭ linispektroj.
Por vera perioda signalo x (t) ni havas C-k = C