Uchambuzi wa Mstari wa Fourier Exponential

Mtaala wa Mtaani Fourier kwa Muda mfupi

Saini ya muda mtendaji x(t) inatafsiriwa kuwa yasiyo na mwisho ikiwa kuna thamani chanya sifuri ya T ambayo

Kama tunavyojua saini yoyote yenye mwisho inaweza kutengenezwa kwa sinusoids zinazolambana au exponential complex, ikiwa inahitimisha masharti ya Dirichlet. Hii tafsiri iliyoingiliana itayita MTAALA WA MTANI FOURIER.
Wataala wawili wa Fourier Series wanaonekana. Wote wana sawa kwa wewe.

• Mtaala wa Mtaani Fourier wa Exponential

• Mtaala wa Mtaani Fourier wa Trigonometric

Wataala wote wanatoa matokeo sawa. Kulingana na aina ya saini, tunachagua chochote cha tafsiri kulingana na urahisi wetu.

Saini yenye mwisho hutathmini kwa kutumia Mtaala wa Mtaani Fourier wa Exponential katika hatua zifuatazo:

1. Utaratibu wa Saini yenye mwisho.

2. Maelezo ya Amplitude na Phase za Saini yenye mwisho.

3. Ngao ya Nguvu ya Saini yenye mwisho.

Utaratibu wa Saini yenye mwisho

Saini yenye mwisho inaweza kutafsiriwa kwa njia mbili tofauti za muda:

1. Muda Mtendaji.

2. Muda Mtandaoni.

Muda Mtendaji

Tafsiri Complex Exponential Fourier Series ya saini yenye mwisho x(t) na muda msingi To inatolewa kwa

Hapa, C inatafsiriwa kama Coefficient wa Complex Fourier na inatolewa kwa,

Hapa ∫0T0, inatafsiriwa kama integral juu ya muda moja na, 0 hadi T0 au –T0/2 hadi T0/2 ni misingi yanayotumiwa kwa kawaida kwa integral.
Tarehe (3) inaweza kupatikana kwa kuzidisha pande zote mbili za tarehe (2) kwa e(-jlω0t) na kuhesabu integral juu ya muda moja pande zote.

Kutokana na interchanging ya utaratibu wa summation na integration kwenye R.H.S., tunapata



Wakati, k≠l, upande wa kulia wa (5) uliohesabiwa kwenye misingi ya chini na juu unatoa sifuri. Kwa upande mwingine, ikiwa k=l, tuna

Vipaka hivyo tarehe (4) inabadilika kuwa



ambayo inaonyesha wastani wa x(t) kwa muda.
Wakati x (t) ni halisi,

Hapa, * inatafsiriwa kama conjugate

Muda Mtandaoni

Tafsiri Fourier katika muda mtandaoni ni ya kawaida kama tafsiri Fourier ya saini yenye mwisho ya muda mtendaji.
Tafsiri ya Fourier series ya saini yenye mwisho x[n] na muda msingi No inatolewa kwa
Hapa, Ck, ni Fourier coefficients na inatolewa kwa

Hii inaweza kupatikana kwa njia sawa kama tulivyopata kwenye muda mtendaji.

Maelezo ya Amplitude na Phase za Saini yenye mwisho

Tunaweza kutafsiri Coefficient wa Complex Fourier, Ck kama

Plot la |Ck| versus angular frequency w inatafsiriwa kama amplitude spectrum ya saini yenye mwisho x(t), na plot la Фk, versus w inatafsiriwa kama phase spectrum ya x(t). Tangu index k anaweza kukua tu integers, amplitude na phase spectra hayaja kwenye curves zenye uzima lakini huonekana tu kwenye frequencies za discrete kω0, basi hivyo wanatafsiriwa kama discrete frequency spectra au line spectra.
Kwa saini yenye mwisho halisi x (t) tunayo C-k = C