ניתוח של טור פורייה מעריכי
סדרת פורייה בהצצה
אות בזמן רציף x(t) נחשב כמחזורי אם קיים ערך חיובי שונה מאפס של T עבורו
כפי שאנו יודעים, כל אות מחזורי יכול להיות מסווג למשתנים הרמוניים או מעריכיים מרוכבים, אם הוא מקיים את תנאי דיריכלה. הצגה זו המפורקת נקראת סדרת פורייה.
ישנן שתי סוגים של סדרת פורייה. שתיהן שקולות אחת לשנייה.
סדרת פורייה מעריכית
סדרת פורייה טריגונומטרית
שתי ההצגות נותנות את אותו התוצאה. בהתאם לסוג האות, אנו בוחרים כל אחת מההצגות לפי נוחותנו.
אות מחזורי מתאר באמצעות סדרת פורייה מעריכית בשלושה שלבים:
הצגת אות מחזורי.
ספקטרום המשרעות וה faz של אות מחזורי.
תוכן הכוח של אות מחזורי.
הצגת אות מחזורי
אות מחזורי בסדרת פורייה עשוי להיחשב בשני תחומי זמן שונים:
תחום זמן רציף.
תחום זמן בדיד.
תחום זמן רציף
הצגת הסדרה המרוכבת סדרת פורייה מעריכית של אות מחזורי x(t) עם תקופת בסיס To נתונה על ידי
כאשר, C ידוע כמקדם פורייה מרוכב ונתון על ידי,
כאשר ∫0T0, מסמן אינטגרל לאורך תקופה אחת, ו- 0 עד T0 או –T0/2 עד T0/2 הם הגבולות הנפוצים לחישוב האינטגרל.
המשוואה (3) יכולה להתפתח על ידי הכפלת שני הצדדים של המשוואה (2) ב- e(-jlω0t) ולהתבצע אינטגרציה לאורך תקופה זמן בשני הצדדים.
על ידי החלפת סדר הסכימה והאינטגרציה בצד ימין, מקבלים
כאשר k≠l, הצד הימני של (5) נבדק בגבולות העליונים והתחתונים נותן אפס. מצד שני, אם k=l, יש לנו
לכן המשוואה (4) מצטמצמת ל
מה שמציין את הערך הממוצע של x(t) לאורך תקופה.
כאשר x (t) הוא ממשי,
כאשר, * מסמן צמוד
תחום זמן בדיד
ההצגה של פורייה בדידה מאוד דומה להצגת אות מחזורי בתחום הזמן הרציף.
ההצגה של סדרת פורייה בדידה של אות מחזורי x[n] עם תקופת בסיס No נתונה על ידי
כאשר, Ck, הם המקדמים של פורייה ונתונים על ידי
זה ניתן להסיק באותה דרך שבה הסיקנו זאת בתחום הזמן הרציף.
ספקטרום המשרעות וה faz של אות מחזורי
ניתן לבטא את מקדם פורייה המרוכב, Ck כך:
גרף של |Ck| לעומת התדירות הזוויתית w נקרא ספקטרום המשרעות של האות המחזורי x(t), וגרף של Фk, לעומת w נקרא ספקטרום ה faz של x(t). מכיוון שהאינדקס k מקבל רק מספרים שלמים, ספקטרומי המשרעות וה faz אינם עקומות רציפות אלא מופיעים רק בתדירויות בדידות kω0, לכן הם מכונים ספקטרומים בדידים או ספקטרומים קוויים.
עבור אות מחזורי ממשי x (t) יש לנו C-k = Ck*. לכן,
