घातांकीय फूरियर श्रेणी का विश्लेषण

फूरियर श्रेणी: एक संक्षिप्त दृष्टिकोण

एक सतत समय सिग्नल x(t) को आवधिक माना जाता है अगर T का एक धनात्मक गैर-शून्य मान हो जिसके लिए

जैसा कि हम जानते हैं, किसी भी आवधिक सिग्नल को हार्मोनिक रिलेटेड साइनसोइड या जटिल घातीय में वर्गीकृत किया जा सकता है, यदि यह डीरिचलेट की शर्तों को पूरा करता है। यह विघटित प्रतिनिधित्व को फूरियर श्रेणी कहा जाता है।
दो प्रकार की फूरियर श्रेणी प्रतिनिधित्व हैं। दोनों एक दूसरे के बराबर हैं।

• घातीय फूरियर श्रेणी

• त्रिकोणमितीय फूरियर श्रेणी

दोनों प्रतिनिधित्व समान परिणाम देते हैं। सिग्नल के प्रकार के आधार पर, हम अपनी सुविधा के अनुसार किसी भी प्रतिनिधित्व का चयन कर सकते हैं।

एक आवधिक सिग्नल को घातीय फूरियर श्रेणी के आधार पर निम्नलिखित तीन चरणों में विश्लेषित किया जाता है:

1. आवधिक सिग्नल का प्रतिनिधित्व।

2. आवधिक सिग्नल का अनुपात और दশा स्पेक्ट्रा।

3. आवधिक सिग्नल की शक्ति सामग्री।

आवधिक सिग्नल का प्रतिनिधित्व

फूरियर श्रेणी में एक आवधिक सिग्नल दो अलग-अलग समय डोमेन में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:

1. सतत समय डोमेन।

2. विविक्त समय डोमेन।

सतत समय डोमेन

किसी आवधिक सिग्नल x(t) का जटिल घातीय फूरियर श्रेणी प्रतिनिधित्व, जिसका मूलभूत आवधिक To है, निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

जहाँ, C को जटिल फूरियर गुणांक के रूप में जाना जाता है और यह दिया जाता है,

जहाँ ∫0T0, किसी एक आवधिक के लिए समाकलन को दर्शाता है और, 0 से T0 या –T0/2 से T0/2 समाकलन के लिए सामान्य रूप से उपयोग की जाने वाली सीमाएँ हैं।
समीकरण (3) को समीकरण (2) के दोनों ओर e(-jlω0t) से गुणा करके और एक समय आवधिक दोनों ओर समाकलन करके प्राप्त किया जा सकता है।

R.H.S. पर योग और समाकलन का क्रम बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं



जब, k≠l, तो (5) का R.H.S. निम्न और ऊपरी सीमा पर मूल्यांकन करने पर शून्य प्राप्त होता है। दूसरी ओर, यदि k=l, तो हमारे पास है

तब समीकरण (4) घटित होता है



जो एक आवधिक में x(t) का औसत मान दर्शाता है।
जब x (t) वास्तविक होता है,

जहाँ, * संयुग्मित दर्शाता है

विविक्त समय डोमेन

विविक्त में फूरियर प्रतिनिधित्व बहुत ही समान है फूरियर श्रेणी के सतत समय डोमेन के आवधिक सिग्नल के फूरियर प्रतिनिधित्व के साथ।
किसी आवधिक अनुक्रम x[n] का विविक्त फूरियर श्रेणी प्रतिनिधित्व, जिसका मूलभूत आवधिक No है, निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है
जहाँ, Ck, फूरियर गुणांक हैं और यह दिया जाता है