Analyse af eksponentiel Fourier-serie

Fourier Række i Kort Form

En kontinuerlig tids signal x(t) siges at være periodisk, hvis der findes en positiv ikke-nul værdi af T, for hvilken

Som vi ved, kan ethvert periodisk signal deles op i harmonisk relaterede sinusoider eller komplekse eksponentielle, hvis det opfylder Dirichlets Betingelser. Denne dekomponerede repræsentation kaldes FOURIER RÆKKE.
Der er to typer Fourier Rækker repræsentation. Begge er ækvivalente til hinanden.

• Eksponentiel Fourier Række

• Trigonometrisk Fourier Række

Begge repræsentationer giver samme resultat. Afhængigt af signaltypen, vælger vi den repræsentation, der passer bedst til vores behov.

Et periodisk signal analyseres i termer af Eksponentiel Fourier Række i følgende tre trin:

1. Repræsentation af Periodisk Signal.

2. Amplitud og Fase Spektrum af et Periodisk Signal.

3. Effekt Indhold af et Periodisk Signal.

Repræsentation af Periodisk Signal

Et periodisk signal i Fourier Række kan repræsenteres i to forskellige tidsdomæner:

1. Kontinuerligt Tidsdomæne.

2. Diskret Tidsdomæne.

Kontinuerligt Tidsdomæne

Den komplekse Eksponentielle Fourier Række repræsentation af et periodisk signal x(t) med grundperioden To er givet ved

Hvor C er kendt som Kompleks Fourier Koefficient og er givet ved,

Hvor ∫0T0, betegner integralet over enhver periode, og 0 til T0 eller –T0/2 til T0/2 er de grænser, der ofte bruges til integration.
Ligning (3) kan udledes ved at multiplicere begge sider af ligning (2) med e(-jlω0t) og integrere over en tidsperiode på begge sider.

Ved at bytte om på summasjon og integration på højre side, får vi



Når k≠l, evalueres højre side af (5) ved nedre og øvre grænse til nul. På den anden side, hvis k=l, har vi

Konsekvent reduceres ligning (4) til



som angiver gennemsnitsværdien af x(t) over en periode.
Når x (t) er reel,

Hvor * indikerer konjugeret

Diskret Tidsdomæne

Fourier-repræsentation i diskret form er meget lignende Fourier-repræsentation af periodiske signaler i kontinuerligt tidsdomæne.
Den diskrete Fourier-række repræsentation af en periodisk sekvens x[n] med grundperioden No er givet ved
Hvor Ck, er Fourier-koefficienterne og er givet ved

Dette kan udledes på samme måde, som vi gjorde det i kontinuerligt tidsdomæne.

Amplitud- og Fase Spektrum af et Periodisk Signal

Vi kan udtrykke Kompleks Fourier Koefficient, Ck som

En plot af |Ck| imod vinkelfrekvensen w kaldes amplitud spektrummet for det periodiske signal x(t), og en plot af Фk, imod w kaldes fase spektrummet for x(t). Da indeksen k kun antager heltal, er amplitud- og fase spektra ikke kontinuerlige kurver, men forekommer kun ved diskrete frekvenser kω0, de refereres derfor til som diskrete frekvens spektra eller linje spektra.
Før et reelt periodisk signal x (t) har vi C-k = Ck