Analyse af eksponentiel Fourier-serie
Fourier Række i Kort Form
En kontinuerlig tids signal x(t) siges at være periodisk, hvis der findes en positiv ikke-nul værdi af T, for hvilken
Som vi ved, kan ethvert periodisk signal deles op i harmonisk relaterede sinusoider eller komplekse eksponentielle, hvis det opfylder Dirichlets Betingelser. Denne dekomponerede repræsentation kaldes FOURIER RÆKKE.
Der er to typer Fourier Rækker repræsentation. Begge er ækvivalente til hinanden.
Eksponentiel Fourier Række
Trigonometrisk Fourier Række
Begge repræsentationer giver samme resultat. Afhængigt af signaltypen, vælger vi den repræsentation, der passer bedst til vores behov.
Et periodisk signal analyseres i termer af Eksponentiel Fourier Række i følgende tre trin:
Repræsentation af Periodisk Signal.
Amplitud og Fase Spektrum af et Periodisk Signal.
Effekt Indhold af et Periodisk Signal.
Repræsentation af Periodisk Signal
Et periodisk signal i Fourier Række kan repræsenteres i to forskellige tidsdomæner:
Kontinuerligt Tidsdomæne.
Diskret Tidsdomæne.
Kontinuerligt Tidsdomæne
Den komplekse Eksponentielle Fourier Række repræsentation af et periodisk signal x(t) med grundperioden To er givet ved
Hvor C er kendt som Kompleks Fourier Koefficient og er givet ved,
Hvor ∫0T0, betegner integralet over enhver periode, og 0 til T0 eller –T0/2 til T0/2 er de grænser, der ofte bruges til integration.
Ligning (3) kan udledes ved at multiplicere begge sider af ligning (2) med e(-jlω0t) og integrere over en tidsperiode på begge sider.
Ved at bytte om på summasjon og integration på højre side, får vi
Når k≠l, evalueres højre side af (5) ved nedre og øvre grænse til nul. På den anden side, hvis k=l, har vi
Konsekvent reduceres ligning (4) til
som angiver gennemsnitsværdien af x(t) over en periode.
Når x (t) er reel,
Hvor * indikerer konjugeret
Diskret Tidsdomæne
Fourier-repræsentation i diskret form er meget lignende Fourier-repræsentation af periodiske signaler i kontinuerligt tidsdomæne.
Den diskrete Fourier-række repræsentation af en periodisk sekvens x[n] med grundperioden No er givet ved
Hvor Ck, er Fourier-koefficienterne og er givet ved
Dette kan udledes på samme måde, som vi gjorde det i kontinuerligt tidsdomæne.
Amplitud- og Fase Spektrum af et Periodisk Signal
Vi kan udtrykke Kompleks Fourier Koefficient, Ck som
En plot af |Ck| imod vinkelfrekvensen w kaldes amplitud spektrummet for det periodiske signal x(t), og en plot af Фk, imod w kaldes fase spektrummet for x(t). Da indeksen k kun antager heltal, er amplitud- og fase spektra ikke kontinuerlige kurver, men forekommer kun ved diskrete frekvenser kω0, de refereres derfor til som diskrete frekvens spektra eller linje spektra.
Før et reelt periodisk signal x (t) har vi C-k = Ck
