Analisis Siri Fourier Eksponen

Siri Fourier dalam Pandangan

Isyarat masa berterusan x(t) dikatakan berkala jika terdapat nilai T positif bukan sifar yang mana

Seperti yang kita tahu, sebarang isyarat berkala boleh diklasifikasikan ke dalam sinusoid berkaitan harmonik atau eksponen kompleks, dengan syarat ia memenuhi Syarat-syarat Dirichlet. Perwakilan ini dipanggil SIRI FOURIER.
Ada dua jenis Siri Fourier. Kedua-duanya setara antara satu sama lain.

• Siri Fourier Eksponen

• Siri Fourier Trigonometri

Kedua-dua perwakilan memberikan hasil yang sama. Bergantung kepada jenis isyarat, kami memilih mana-mana perwakilan mengikut kemudahan kami.

Isyarat berkala dianalisis dalam tiga tahap menggunakan Siri Fourier Eksponen:

1. Perwakilan Isyarat Berkala.

2. Spektrum Amplitud dan Fasa Isyarat Berkala.

3. Kandungan Kuasa Isyarat Berkala.

Perwakilan Isyarat Berkala

Isyarat berkala dalam Siri Fourier mungkin diwakili dalam dua domain masa yang berbeza:

1. Domain Masa Berterusan.

2. Domain Masa Diskret.

Domain Masa Berterusan

Perwakilan Siri Fourier Eksponen kompleks bagi isyarat berkala x(t) dengan tempoh asas To diberikan oleh

Di mana, C dikenali sebagai Pekali Fourier Kompleks dan diberikan oleh,

Di mana ∫0T0, menunjukkan kamiran selama satu tempoh, dan, 0 hingga T0 atau –T0/2 hingga T0/2 adalah had-had biasa yang digunakan untuk kamiran.
Persamaan (3) boleh diturunkan dengan menggandakan kedua-dua belah persamaan (2) dengan e(-jlω0t) dan mengamirkan selama satu tempoh pada kedua-dua belah.

Dengan menukar urutan penjumlahan dan pengamiran pada R.H.S., kita mendapatkan



Apabila k≠l, sisi kanan (5) dinilai pada had bawah dan atas menghasilkan sifar. Di sisi lain, jika k=l, kita mempunyai

Akibatnya, persamaan (4) berkurang menjadi



yang menunjukkan nilai purata x(t) selama satu tempoh.
Apabila x (t) adalah nyata,

Di mana, * menunjukkan konjugat

Domain Masa Diskret

Perwakilan Fourier dalam diskret sangat serupa dengan perwakilan Fourier isyarat berkala dalam domain masa berterusan.
Perwakilan siri Fourier diskret bagi urutan berkala x[n] dengan tempoh asas No diberikan oleh
Di mana, Ck, adalah pekali Fourier dan diberikan oleh

Ini boleh diturunkan dengan cara yang sama seperti yang kita turunkan dalam domain masa berterusan.

Spektrum Amplitud dan Fasa Isyarat Berkala

Kita boleh mengungkapkan Pekali Fourier Kompleks, Ck sebagai

Plot |Ck| melawan frekuensi sudut w dipanggil spektrum amplitud isyarat berkala x(t), dan plot Фk, melawan w dipanggil spektrum fasa x(t). Oleh kerana indeks k hanya mengambil integer, spektrum amplitud dan fasa tidak berbentuk lengkung berterusan tetapi hanya muncul pada frekuensi diskret kω0, mereka oleh itu dirujuk sebagai spektrum frekuensi diskret atau spektrum garis.
Untuk isyarat berkala nyata x (t) kita mempunyai C-k = Ck